Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 431 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 46 Кольцо многочленов над факториальным кольцом 431
h
(
x
) =
h
0
+
h
1
x
+
...
+
h
l−1
x
l−1
+
h
l
x
l
; (46.32)
и g
j
, h
k
∈ L (j = 0, ..., m; k = 0, ..., l); g
m
, h
l
6= 0; m, l > 0; m + l = n.
Приравняем свободные члены в формуле (46.30): f
0
= g
0
h
0
.
Поскольку p|f
0
и элемент p прост, то p делит либо g
0
, либо h
0
(оба
этих коэффициента одновременно не могут делиться на p, поскольку
f
0
не делится на p
2
).
Пусть для определенности p|g
0
(и тогда p - h
0
).
Приравняем теперь старшие коэффициенты в (46.30): f
n
= g
m
h
l
.
Ясно, что ни g
m
, ни h
l
не делятся на p (иначе на p делился бы f
n
).
Таким образом, среди коэффициентов многочлена (46.31) имеют-
ся как делящиеся на p, так и не делящиеся. Рассмотрим коэффици-
ент g
j
0
с номером j
0
(0 < j
0
< m), наименьшим из таких номеров j,
что p - g
j
(т. е. при всех j ∈ {0, ..., j
0
− 1} имеем: p|g
j
).
Приравняем теперь в (46.30) коэффициенты при x
j
0
:
f
j
0
= g
0
h
j
0
+ g
1
h
j
0
−1
+ ... + g
j
0
−1
h
1
+ g
j
0
h
0
. (46.33)
С одной стороны, т. к. j
0
< m < n, коэффициент f
j
0
делится на p.
С другой стороны, в правой части (46.33) все слагаемые, кроме
(выделенного) последнего, делятся на p. Выделенное же слагаемое
не может делиться на p, поскольку элемент p прост и не делит ни
g
j
0
, ни h
0
. Значит, вся правая часть (46.33) не делится на p.
Полученное противоречие доказывает неприводимость исходного
многочлена f(x). ¤
Во всех последующих примерах будут рассматриваться многочле-
ны над кольцом целых чисел (и записываться они будут по убыванию
степеней).
Пример 46.3. Многочлен
f(x) = 3x
7
− 4x
5
+ 2x
4
− 6x
3
− 8x
2
− 4x − 2
неприводим над кольцом Z, т. к. его старший коэффициент не де-
лится на простое число p = 2; все остальные коэффициенты на это
число делятся, но свободный член не делится на p
2
= 4.
§ 46    Кольцо многочленов над факториальным кольцом                       431



                 h(x) = h0 + h1 x + ... + hl−1 xl−1 + hl xl ;           (46.32)

и gj , hk ∈ L (j = 0, ..., m; k = 0, ..., l); gm , hl 6= 0; m, l > 0; m + l = n.
   Приравняем свободные члены в формуле (46.30): f0 = g0 h0 .
   Поскольку p|f0 и элемент p прост, то p делит либо g0 , либо h0 (оба
этих коэффициента одновременно не могут делиться на p, поскольку
f0 не делится на p2 ).
   Пусть для определенности p|g0 (и тогда p - h0 ).
   Приравняем теперь старшие коэффициенты в (46.30): fn = gm hl .
   Ясно, что ни gm , ни hl не делятся на p (иначе на p делился бы fn ).
   Таким образом, среди коэффициентов многочлена (46.31) имеют-
ся как делящиеся на p, так и не делящиеся. Рассмотрим коэффици-
ент gj0 с номером j0 (0 < j0 < m), наименьшим из таких номеров j,
что p - gj (т. е. при всех j ∈ {0, ..., j0 − 1} имеем: p|gj ).
   Приравняем теперь в (46.30) коэффициенты при xj0 :

          fj0 = g0 hj0 + g1 hj0 −1 + ... + gj0 −1 h1 + gj0 h0 .         (46.33)


    С одной стороны, т. к. j0 < m < n, коэффициент fj0 делится на p.
    С другой стороны, в правой части (46.33) все слагаемые, кроме
(выделенного) последнего, делятся на p. Выделенное же слагаемое
не может делиться на p, поскольку элемент p прост и не делит ни
gj0 , ни h0 . Значит, вся правая часть (46.33) не делится на p.
    Полученное противоречие доказывает неприводимость исходного
многочлена f (x). ¤

   Во всех последующих примерах будут рассматриваться многочле-
ны над кольцом целых чисел (и записываться они будут по убыванию
степеней).

   Пример 46.3. Многочлен

              f (x) = 3x7 − 4x5 + 2x4 − 6x3 − 8x2 − 4x − 2

неприводим над кольцом Z, т. к. его старший коэффициент не де-
лится на простое число p = 2; все остальные коэффициенты на это
число делятся, но свободный член не делится на p2 = 4.

Страницы