Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 432 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

432 Алгебра многочленов Гл. 6
Пример 46.4. Двучлен
f(x) = x
n
− pq,
где p — простое число, а q — любое целое число, не делящееся на p,
является, очевидно, неприводимым.
Замечание 46.5. Рассмотрев последний пример, можем сделать
следующее наблюдение.
Над полем C (и вообще над любым алгебраически замкнутым
полем) неприводимыми являются лишь многочлены первой степе-
ни. Над полем R к числу неприводимых добавляются квадратичные
многочлены (с отрицательным дискриминантом).
А вот над кольцом Z (и, следовательно, над полем Q) существуют
неприводимые многочлены любой положительной степени.
(Только на первый взгляд кажется парадоксальным, что кольцо
многочленов над более "простым" полем устроено сложнее, чем над
более "сложным". Именно затем и расширялось ("усложнялось")
самое простое из числовых полей, поле рациональных чисел, чтобы
"упростилось" строение кольца многочленов.)
Пример 46.5. Рассмотрим теперь так называемые многочлены
деления круга:
f(x) = x
p−1
+ x
p−2
+ ... + x + 1, (46.34)
где p — простое натуральное число.
[Термин возник ввиду наличия тесной связи (см. ниже) многочле-
на (46.34) с многочленом x
p
−1, комплексные корни которого делят
на p равных частей единичную окружность (см. § 33).]
Непосредственно применить к многочлену (46.34) признак Эйзен-
штейна нельзя, поскольку все его коэффициенты равны 1 и ни о
каких простых делителях речи идти не может.
Заметим, однако, что этот многочлен можно "свернуть" по фор-
муле суммы геометрической прогрессии:
f(x) =
x
p
− 1
x − 1
. (46.35)
[Причем ни о какой О.Д.З. (кошмар, характерный для всех "шко-
лярских" задач!) здесь беспокоиться не придется: многочлены рас-
сматриваются не как функции, а как формальные суммы (или векто-
ры); многочлен x−1 делит многочлен x
p
−1 (хотя бы в силу теоремы
Безу); правая часть (46.35) есть соответствующее частное.]
432                  Алгебра многочленов                    Гл. 6

  Пример 46.4. Двучлен
                         f (x) = xn − pq,
где p — простое число, а q — любое целое число, не делящееся на p,
является, очевидно, неприводимым.
  Замечание 46.5. Рассмотрев последний пример, можем сделать
следующее наблюдение.
  Над полем C (и вообще над любым алгебраически замкнутым
полем) неприводимыми являются лишь многочлены первой степе-
ни. Над полем R к числу неприводимых добавляются квадратичные
многочлены (с отрицательным дискриминантом).
  А вот над кольцом Z (и, следовательно, над полем Q) существуют
неприводимые многочлены любой положительной степени.
  (Только на первый взгляд кажется парадоксальным, что кольцо
многочленов над более "простым" полем устроено сложнее, чем над
более "сложным". Именно затем и расширялось ("усложнялось")
самое простое из числовых полей, поле рациональных чисел, чтобы
"упростилось" строение кольца многочленов.)
   Пример 46.5. Рассмотрим теперь так называемые многочлены
деления круга:
                 f (x) = xp−1 + xp−2 + ... + x + 1,        (46.34)
где p — простое натуральное число.
   [Термин возник ввиду наличия тесной связи (см. ниже) многочле-
на (46.34) с многочленом xp − 1, комплексные корни которого делят
на p равных частей единичную окружность (см. § 33).]
   Непосредственно применить к многочлену (46.34) признак Эйзен-
штейна нельзя, поскольку все его коэффициенты равны 1 и ни о
каких простых делителях речи идти не может.
   Заметим, однако, что этот многочлен можно "свернуть" по фор-
муле суммы геометрической прогрессии:
                                  xp − 1
                          f (x) =        .                 (46.35)
                                  x−1
  [Причем ни о какой О.Д.З. (кошмар, характерный для всех "шко-
лярских" задач!) здесь беспокоиться не придется: многочлены рас-
сматриваются не как функции, а как формальные суммы (или векто-
ры); многочлен x−1 делит многочлен xp −1 (хотя бы в силу теоремы
Безу); правая часть (46.35) есть соответствующее частное.]

Страницы