Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 434 стр.

434                 Алгебра многочленов                   Гл. 6

  По признаку Эйзенштейна, многочлен g(x) и с ним вместе f (x) —
неприводимы.
  Необходимо добавить, что при составном показателе n многочлен

                 f (x) = xn−1 + xn−2 + ... + x + 1

является приводимым. Об этом свидетельствует формула

                    xkl − 1  xkl − 1 xk − 1
                            = k     ·       .
                     x−1     x −1 x−1

  Замечание 46.6. Maple прекрасно справляется с тестированием
многочленов (с целыми или рациональными коэффициентами) на
неприводимость, а также с задачей разложения на неприводимые
множители. Примеры уже рассматривались (см. пп. 43.4 и 44.5).
  Познакомиться с алгоритмами факторизации многочленов (явля-
ющимися важнейшей частью всех систем компьютерной алгебры)
можно, например, по превосходной книге В. В. Прасолова "Много-
члены" (М.: МЦНМО, 2003).



§ 47. Дифференцирование в кольце многочленов.
           Отделение кратных множителей
   47.1. Понятие характеристики поля. В настоящем парагра-
фе мы попытаемся развить в кольце P [x] многочленов над полем P
дифференциальное исчисление. Но предварительно нам предстоит
познакомиться с важнейшим для теории полей понятием характе-
ристики поля.
   Рассмотрим аддитивную группу (P ; +) поля P. Элемент 1 ∈ P в
этой группе может иметь
   — либо конечный порядок m, если сумма m штук (но не меньше)
единиц равна нулю:

                    1 + 1 + ... + 1 = m · 1 = 0,
                    |     {z      }
                        m раз

где использовано "мультипликативное" обозначение m · 1 для этой
суммы;
   — либо бесконечный порядок, когда все такие суммы отличны от
нуля (и, как следствие, все попарно различны).