Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 433 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 46 Кольцо многочленов над факториальным кольцом 433
Далее необходимо сделать такое наблюдение: при "сдвиге" аргу-
мента (в данном случае — на произвольное целое число; фактически
понадобится сдвиг на единицу) свойство приводимости (неприводи-
мости) многочлена сохраняется. Точнее, многочлен f(x) является
приводимым (неприводимым) тогда и только тогда, когда приводим
(неприводим) многочлен
g(x) = f(x + 1). (46.36)
(Попробуйте сами провести совсем простое доказательное рассуж-
дение.)
Для "сдвинутого" многочлена (46.36) получим (используя форму-
лу бинома Ньютона):
g(x) =
(x + 1)
p
− 1
x
=
=
1
x
(x
p
+ C
1
p
x
p−1
+ C
2
p
x
p−2
+ ... + C
p−2
p
x
2
+ C
p−1
p
x) =
= x
p−1
+ C
1
p
x
p−2
+ C
2
p
x
p−3
+ ... + C
p−2
p
x + C
p−1
p
.
В окончательном выражении старший коэффициент, будучи еди-
ницей, не делится на p.
Докажем, что все остальные коэффициенты C
k
p
(k = 1, ..., p − 1)
делятся на p. В самом деле, число
C
k
p
=
p · (p −1) · ... · (p − k + 1)
1 · 2 · ... · k
(46.37)
является натуральным (это — число сочетаний из p элементов
по k), т. е. числитель дроби в правой части (46.37) делится наце-
ло на знаменатель.
Как числитель, так и знаменатель содержат k сомножителей (где
1 6 k 6 p − 1), причем в числителе присутствует множитель p. Все
сомножители в знаменателе меньше p , и следовательно, ни один из
них не делится на p. Простота p влечет теперь тот факт, что весь
знаменатель не делится на p. Значит, рассматриваемая дробь не мо-
жет быть сокращена на p и получающееся (после всех возможных
сокращений) целое число C
k
p
будет делиться на p.
Остается проверить, что свободный член не делится на p
2
. Но это
так, поскольку C
p−1
p
= C
1
p
= p.
§ 46   Кольцо многочленов над факториальным кольцом                 433

   Далее необходимо сделать такое наблюдение: при "сдвиге" аргу-
мента (в данном случае — на произвольное целое число; фактически
понадобится сдвиг на единицу) свойство приводимости (неприводи-
мости) многочлена сохраняется. Точнее, многочлен f (x) является
приводимым (неприводимым) тогда и только тогда, когда приводим
(неприводим) многочлен

                            g(x) = f (x + 1).                     (46.36)

  (Попробуйте сами провести совсем простое доказательное рассуж-
дение.)
  Для "сдвинутого" многочлена (46.36) получим (используя форму-
лу бинома Ньютона):

        (x + 1)p − 1
  g(x) =             =
             x
         1
       = (xp + Cp1 xp−1 + Cp2 xp−2 + ... + Cpp−2 x2 + Cpp−1 x) =
         x
                 = xp−1 + Cp1 xp−2 + Cp2 xp−3 + ... + Cpp−2 x + Cpp−1 .

  В окончательном выражении старший коэффициент, будучи еди-
ницей, не делится на p.
  Докажем, что все остальные коэффициенты Cpk (k = 1, ..., p − 1)
делятся на p. В самом деле, число

                          p · (p − 1) · ... · (p − k + 1)
                  Cpk =                                           (46.37)
                                   1 · 2 · ... · k

является натуральным (это — число сочетаний из p элементов
по k), т. е. числитель дроби в правой части (46.37) делится наце-
ло на знаменатель.
  Как числитель, так и знаменатель содержат k сомножителей (где
1 6 k 6 p − 1), причем в числителе присутствует множитель p. Все
сомножители в знаменателе меньше p, и следовательно, ни один из
них не делится на p. Простота p влечет теперь тот факт, что весь
знаменатель не делится на p. Значит, рассматриваемая дробь не мо-
жет быть сокращена на p и получающееся (после всех возможных
сокращений) целое число Cpk будет делиться на p.
  Остается проверить, что свободный член не делится на p2 . Но это
так, поскольку Cpp−1 = Cp1 = p.

Страницы