Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 435 стр.

§ 47       Дифференцирование в кольце многочленов                        435

   (Понятие порядка элемента, для случая мультипликативных
групп обсуждалось в п. 18.2 (порядок перестановки) и 33.1 (поря-
док ненулевого комплексного числа). Здесь, в аддитивной ситуации,
роль нейтрального элемента играет не единица, а нуль и вместо опе-
рации возведения в целую степень действует операция умножения
на целое число.)
   В общем случае порядок элемента группы может быть произволь-
ным натуральным числом. Ниже мы убедимся, что в рассматрива-
емой ситуации, для аддитивной группы поля, порядок элемента 1
(если он конечен) является простым числом.
   В самом деле, наличие в поле двух алгебраических действий, сло-
жения и умножения, связанных дистрибутивным законом, позволя-
ет в случае составного числа m (m = k · l; 1 < k, l < m) провести
следующую выкладку:

  0 = m · 1 = 1 + 1 + ... + 1 =
              |     {z      }
                   m раз
         = (1 + 1 + ... + 1) · (1 + 1 + ... + 1) = (k · 1) · (l · 1) ⇒
            |     {z      } |         {z      }
                 k раз               l раз
                                               ⇒ (k · 1 = 0) ∨ (l · 1 = 0)

— и получить противоречие с определением порядка.
  Итак, аддитивный порядок полевой единицы либо равен простому
числу, либо бесконечен.
  Беря произвольный ненулевой элемент поля a ∈ P \ {0}, мы легко
убеждаемся, что он имеет такой же порядок, что и 1 ∈ P.
  (Это следует из формулы

                  a + a + ... + a = a · (1 + 1 + ... + 1),
                  |     {z      }        |     {z      }
                         m раз                 m раз

которую можно выразить "мультипликативно":

                  m · a = a · (m · 1); m ∈ N; a, 1 ∈ P ;

подробности рассуждения восстановите сами.)
   Определение 47.1. Характеристикой поля P называется
   — либо (простое) натуральное число p, если p · 1 = 0 в поле P,
   — либо нуль, если все элементы m · 1 (m ∈ N) отличны от нуля.
   Для характеристики поля используется обозначение char(P ).