Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 436 стр.

436                       Алгебра многочленов                              Гл. 6

   Замечание 47.1. Вот вам еще пример ситуации, когда в математи-
ческой терминологии традиция побеждает логику: было бы, разуме-
ется, более естественным поля нулевой характеристики именовать
полями бесконечной характеристики.
  Пример 47.1. Для всех числовых полей (P = Q, R, C и др.)
char(P ) = 0. Для поля Fp классов вычетов по простому модулю p
характеристика char(Fp ) = p.
  47.2. Понятие (формальной) производной от многочле-
на. Определим теперь отображение кольца многочленов P [x] в себя
             0
                 : P [x] −→ P [x]; f (x) 7→ f 0 (x); f (x) ∈ P [x],        (47.1)

называемое дифференцированием или взятием производной и удовле-
творяющее следующим условиям:
  1) (линейность) для любых многочленов f (x), g(x) ∈ P [x] и лю-
бых скаляров λ, µ ∈ P справедливо

                    (λf (x) + µg(x))0 = λf 0 (x) + µg 0 (x);               (47.2)

   2) (свойство Лейбница, или правило дифференцирования произве-
дения) для любых многочленов f (x), g(x) ∈ P [x] справедливо

                    ( f (x)g(x) )0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x);           (47.3)

  3) отображение (47.1) переводит единичный скаляр в нуль:

                                     (1)0 = 0;                             (47.4)

  4) отображение (47.1) переводит многочлен x в единицу:

                                    (x)0 = 1.                              (47.5)

   При формулировке следующего предложения будет использовать-
ся запись многочлена по возрастанию степеней.
   Предложение 47.1. Отображение (47.1), удовлетворяющее ус-
ловиям (47.2) — (47.5), существует, определено однозначно и сопо-
ставляет многочлену степени n

  f (x) = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fn−1 xn−1 + fn xn ;
                                        fi ∈ P (i = 0, ..., n); fn 6= 0,   (47.6)