Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 438 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

438 Алгебра многочленов Гл. 6
дескать, сравнение оказывается более точным, чем того хотелось бы
автору.
Замечание 47.3. И снова о формуле (47.8). На этот раз понадо-
бится понятие характеристики поля, введенное выше.
Если char(P ) = 0, то производная от одночлена степени m явля-
ется одночленом степени m − 1.
Если же char(P ) = p — простое число, то p · 1 = 0, и поэтому
(x
p
)
0
= 0, т. е. бывают многочлены положительной степени с нулевой
производной.
Теперь мы возвращаемся к прерванному доказательству предло-
жения, и конкретно к доказательству (вызвавшей столь простран-
ные обсуждения) формулы (47.8).
При m = 1 эта формула справедлива (если, конечно, принять
обычное соглашение: x
0
= 1).
Если предположить, что она справедлива при некотором m = k,
то при m = k + 1 получим:
(x
k+1
)
0
= (x
k
· x)
0
(47.3)
=== (x
k
)
0
x + x
k
· (x)
0
=
= (kx
k−1
) · x + x
k
· 1 = kx
k
+ x
k
= (k + 1)x
k
,
т. е. (47.8) оказывается справедливой и при m = k + 1. Формула
доказана.
Одночлены x
m
образуют базис в (бесконечномерном) линейном
пространстве многочленов. Задание линейного отображения на ба-
зисе однозначно определяет это отображение на всем пространстве.
(Это ничего, что оно бесконечномерно: все равно всякий многочлен
однозначно представляется в виде линейной комбинации конечного
числа одночленов.)
Продолжая по линейности отображение
0
с одночленов на произ-
вольные многочлены (47.6), мы получим формулу (47.7).
2. Имея готовую формулу (47.7), можно обратиться к доказатель-
ству существования оператора дифференцирования.
Это доказательство сводится теперь к проверке того, что отобра-
жение, заданное указанной формулой, удовлетворяет всем требова-
ниям (47.2) — (47.5).
Выполнение требований (47.4) и (47.5) очевидно.
Линейность (47.2) тоже практически очевидна (в силу того что
сложение многочленов и умножение многочлена на скаляр произво-
дятся "покомпонентно"):
438                     Алгебра многочленов                         Гл. 6

дескать, сравнение оказывается более точным, чем того хотелось бы
автору.
   Замечание 47.3. И снова о формуле (47.8). На этот раз понадо-
бится понятие характеристики поля, введенное выше.
   Если char(P ) = 0, то производная от одночлена степени m явля-
ется одночленом степени m − 1.
   Если же char(P ) = p — простое число, то p · 1 = 0, и поэтому
  p 0
(x ) = 0, т. е. бывают многочлены положительной степени с нулевой
производной.
   Теперь мы возвращаемся к прерванному доказательству предло-
жения, и конкретно к доказательству (вызвавшей столь простран-
ные обсуждения) формулы (47.8).
   При m = 1 эта формула справедлива (если, конечно, принять
обычное соглашение: x0 = 1).
   Если предположить, что она справедлива при некотором m = k,
то при m = k + 1 получим:
                      (47.3)
  (xk+1 )0 = (xk · x)0 === (xk )0 x + xk · (x)0 =
                        = (kxk−1 ) · x + xk · 1 = kxk + xk = (k + 1)xk ,

т. е. (47.8) оказывается справедливой и при m = k + 1. Формула
доказана.
   Одночлены xm образуют базис в (бесконечномерном) линейном
пространстве многочленов. Задание линейного отображения на ба-
зисе однозначно определяет это отображение на всем пространстве.
(Это ничего, что оно бесконечномерно: все равно всякий многочлен
однозначно представляется в виде линейной комбинации конечного
числа одночленов.)
   Продолжая по линейности отображение 0 с одночленов на произ-
вольные многочлены (47.6), мы получим формулу (47.7).
   2. Имея готовую формулу (47.7), можно обратиться к доказатель-
ству существования оператора дифференцирования.
   Это доказательство сводится теперь к проверке того, что отобра-
жение, заданное указанной формулой, удовлетворяет всем требова-
ниям (47.2) — (47.5).
   Выполнение требований (47.4) и (47.5) очевидно.
   Линейность (47.2) тоже практически очевидна (в силу того что
сложение многочленов и умножение многочлена на скаляр произво-
дятся "покомпонентно"):

Страницы