Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 439 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 47 Дифференцирование в кольце многочленов 439
(f(x) + g(x))
0
=
= ( (f
0
+ g
0
) + (f
1
+ g
1
)x + (f
2
+ g
2
)x
2
+ ... + (f
N
+ g
N
)x
N
)
0
=
= (f
1
+ g
1
) + 2(f
2
+ g
2
)x + ... + N(f
N
+ g
N
)x
N−1
=
= (f
1
+ 2f
2
x + ... + Nf
N
x
N−1
) + (g
1
+ 2g
2
x + ... + Ng
N
x
N−1
) =
= f
0
(x) + g
0
(x),
где, чтобы не задумываться о (возможно, различных) степенях мно-
гочленов, выбрано N = max(deg(f(x)), deg(g(x))).
Остается проверить свойство Лейбница (47.3). Сначала докажем
частный случай этой формулы для одночленов x
k
и x
l
, где k, l > 0:
(x
k
· x
l
)
0
= (x
k
)
0
x
l
+ x
k
(x
l
)
0
. (47.9)
Если k, l > 1, то доказательством служит следующая выкладка:
(x
k
· x
l
)
0
= (x
k +l
)
0
= (k + l)x
k+l−1
=
= kx
k− 1
x
l
+ lx
l−1
x
k
= (x
k
)
0
x
l
+ x
k
(x
l
)
0
.
[При "честной" записи вычислений в (47.9) в качестве коэффици-
ентов должны фигурировать выражения вида k · 1 и т. п. Обратите
также внимание на использование ассоциативного закона для сло-
жения, но в "завуалированном" виде, больше похожем на дистрибу-
тивный закон: (k + l) ·1 = k · 1 + l · 1 .]
Если же k или l обращаются в нуль, то доказательство (47.9) со-
всем тривиально.
Теперь, пользуясь свойством линейности оператора
0
и справед-
ливостью правила дифференцирования произведения одночленов,
можно доказать это правило в общем случае, для произвольных мно-
гочленов f(x) и g(x) степеней n и m соответственно:
( f(x) · g(x) )
0
=
ÃÃ
n
X
k=0
f
k
x
k
!
·
Ã
m
X
l=0
g
l
x
l
!!
0
=
§ 47           Дифференцирование в кольце многочленов                                       439




  (f (x) + g(x))0 =
       = ( (f0 + g0 ) + (f1 + g1 )x + (f2 + g2 )x2 + ... + (fN + gN )xN )0 =
             = (f1 + g1 ) + 2(f2 + g2 )x + ... + N (fN + gN )xN −1 =
   = (f1 + 2f2 x + ... + N fN xN −1 ) + (g1 + 2g2 x + ... + N gN xN −1 ) =
                                                                           = f 0 (x) + g 0 (x),


где, чтобы не задумываться о (возможно, различных) степенях мно-
гочленов, выбрано N = max(deg(f (x)), deg(g(x))).
   Остается проверить свойство Лейбница (47.3). Сначала докажем
частный случай этой формулы для одночленов xk и xl , где k, l > 0:


                          (xk · xl )0 = (xk )0 xl + xk (xl )0 .                           (47.9)

   Если k, l > 1, то доказательством служит следующая выкладка:

  (xk · xl )0 = (xk+l )0 = (k + l)xk+l−1 =
                                     = kxk−1 xl + lxl−1 xk = (xk )0 xl + xk (xl )0 .


   [При "честной" записи вычислений в (47.9) в качестве коэффици-
ентов должны фигурировать выражения вида k · 1 и т. п. Обратите
также внимание на использование ассоциативного закона для сло-
жения, но в "завуалированном" виде, больше похожем на дистрибу-
тивный закон: (k + l) · 1 = k · 1 + l · 1 .]
   Если же k или l обращаются в нуль, то доказательство (47.9) со-
всем тривиально.
   Теперь, пользуясь свойством линейности оператора 0 и справед-
ливостью правила дифференцирования произведения одночленов,
можно доказать это правило в общем случае, для произвольных мно-
гочленов f (x) и g(x) степеней n и m соответственно:

                                     ÃÃ   n
                                                       ! Ã   m
                                                                           !!0
                                          X                  X
               ( f (x) · g(x) )0 =             fk xk    ·          gl xl         =
                                         k=0                 l=0

Страницы