Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 441 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 47 Дифференцирование в кольце многочленов 441
2. Частным случаем (47.11) является формула для производной
от степени многочлена:
( (f(x))
m
)
0
= m(f(x))
m−1
f
0
(x); m ∈ N. (47.12)
3. Из (47.12), в свою очередь, получается:
( (x − c)
m
)
0
= m(x − c)
m−1
; c ∈ P ; m ∈ N. (47.13)
47.3. Высшие производные и формула Тейлора для мно-
гочленов. Вторая производная от многочлена определяется как
производная от первой производной. Общее определение дается по
индукции:
f
(0)
(x) = f(x); f
(1)
(x) = f
0
(x);
f
(k +1)
(x) = ( f
(k )
(x) )
0
; k = 1, 2, ... (47.14)
Также по индукции доказывается формула Лейбница для высших
производных произведения, очень похожая на формулу бинома Нью-
тона [см. (31.26)]:
( f(x)g(x) )
(m)
=
m
X
k=0
C
k
m
f
(k)
(x)g
(m−k )
(x); m ∈ N. (47.15)
Итерируя формулу (47.13), получим представление для высших
производных:
( (x − c)
m
)
(k)
= m(m − 1)...(m − k + 1)(x − c)
m−k
;
c ∈ P ; m, k ∈ N; k 6 m; ( (x − c)
m
)
(m+1)
= 0. (47.16)
А теперь мы повторно обратимся к формуле Тейлора (см. п. 41.2),
представляющей из себя "переразложение" многочлена
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ... + a
n−1
x + a
n
;
a
k
∈ P (k = 0, ..., n); a
0
6= 0; (47.17)
по степеням двучлена x − c. Это переразложение получилось у нас
в виде формулы (41.8), в которой коэффициенты h
k
в правой части
(коэффициенты Тейлора) были занумерованы по возрастанию степе-
ней:
§ 47         Дифференцирование в кольце многочленов                              441

   2. Частным случаем (47.11) является формула для производной
от степени многочлена:

                  ( (f (x))m )0 = m(f (x))m−1 f 0 (x); m ∈ N.                 (47.12)
   3. Из (47.12), в свою очередь, получается:

                ( (x − c)m )0 = m(x − c)m−1 ; c ∈ P ; m ∈ N.                  (47.13)

  47.3. Высшие производные и формула Тейлора для мно-
гочленов. Вторая производная от многочлена определяется как
производная от первой производной. Общее определение дается по
индукции:

  f (0) (x) = f (x); f (1) (x) = f 0 (x);
                                   f (k+1) (x) = ( f (k) (x) )0 ; k = 1, 2, ... (47.14)

  Также по индукции доказывается формула Лейбница для высших
производных произведения, очень похожая на формулу бинома Нью-
тона [см. (31.26)]:
                                 m
                                 X
                       (m)              k (k)
       ( f (x)g(x) )         =         Cm f (x)g (m−k) (x); m ∈ N.            (47.15)
                                 k=0

  Итерируя формулу (47.13), получим представление для высших
производных:

  ( (x − c)m )(k) = m(m − 1)...(m − k + 1)(x − c)m−k ;
                  c ∈ P ; m, k ∈ N; k 6 m; ( (x − c)m )(m+1) = 0.             (47.16)

  А теперь мы повторно обратимся к формуле Тейлора (см. п. 41.2),
представляющей из себя "переразложение" многочлена

  f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an ;
                                           ak ∈ P (k = 0, ..., n); a0 6= 0;   (47.17)

по степеням двучлена x − c. Это переразложение получилось у нас
в виде формулы (41.8), в которой коэффициенты hk в правой части
(коэффициенты Тейлора) были занумерованы по возрастанию степе-
ней:

Страницы