Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 442 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

442 Алгебра многочленов Гл. 6
f(x) = h
0
+ h
1
(x − c) + h
2
(x − c)
2
+ h
3
(x − c)
3
+ ...+
+ h
n−1
(x − c)
n−1
+ h
n
(x − c)
n
; h
n
= a
0
. (47.18)
Продифференцируем (47.18), пользуясь формулой (47.13):
f
0
(x) = h
1
+ 2h
2
(x − c) + 3h
3
(x − c)
2
+ ...+
+ (n − 1)h
n−1
(x − c)
n−2
+ nh
n
(x − c)
n−1
. (47.18
0
)
Повторное дифференцирование даст:
f
00
(x) = 2h
2
+ (3 · 2)h
3
(x − c) + ...+
+ (n − 1)(n − 2)h
n−1
(x − c)
n−3
+ n(n − 1)h
n
(x − c)
n−2
; (47.18
00
)
k-кратное (k 6 n) :
f
(k)
(x) = k!h
k
+ ( (k + 1)k · ... · 2 )h
k+1
(x − c) + ...+
+ n(n − 1)...(n − k + 1)h
n
(x − c)
n−k
; (47.18
(k)
)
в частности, при k = n получится скаляр:
f
(n)
(x) = n!h
n
. (47.18
(n)
)
Подставляя в формулы (47.18) — (47.18
(n)
) значение x = c, полу-
чим:
f
(k )
(c) = k!h
k
; k = 0, 1, 2, ..., n. (47.19)
Из формул (47.19) можно выразить "кому что надо": если, ска-
жем, коэффициенты Тейлора найдены с помощью схемы Горнера,
то формулы (47.19) позволяют вычислить значения всех производ-
ных данного многочлена в точке c ∈ P ; можно, наоборот, придать
формуле Тейлора "аналитический вид", выразив ее коэффициенты
через производные:
f(x) =
n
X
k=0
f
(k)
(c)
k!
(x − c)
k
. (47.20)
Замечание 47.5. Именно в записи (47.20) формула Тейлора (для
многочленов) встретится вам в курсе математического анализа. В
этой науке по Тейлору разлагаются не только многочлены, но и
другие, достаточное число раз дифференцируемые функции; для
них разложение должно содержать дополнительный (остаточный)
член.
442                      Алгебра многочленов                          Гл. 6



  f (x) = h0 + h1 (x − c) + h2 (x − c)2 + h3 (x − c)3 + ...+
                       + hn−1 (x − c)n−1 + hn (x − c)n ; hn = a0 . (47.18)
  Продифференцируем (47.18), пользуясь формулой (47.13):
  f 0 (x) = h1 + 2h2 (x − c) + 3h3 (x − c)2 + ...+
                     + (n − 1)hn−1 (x − c)n−2 + nhn (x − c)n−1 . (47.180 )
  Повторное дифференцирование даст:
  f 00 (x) = 2h2 + (3 · 2)h3 (x − c) + ...+
      + (n − 1)(n − 2)hn−1 (x − c)n−3 + n(n − 1)hn (x − c)n−2 ;    (47.1800 )
k-кратное (k 6 n) :
  f (k) (x) = k!hk + ( (k + 1)k · ... · 2 )hk+1 (x − c) + ...+
                        + n(n − 1)...(n − k + 1)hn (x − c)n−k ;   (47.18(k) )
в частности, при k = n получится скаляр:
                               f (n) (x) = n!hn .                 (47.18(n) )
  Подставляя в формулы (47.18) — (47.18(n) ) значение x = c, полу-
чим:
                f (k) (c) = k!hk ; k = 0, 1, 2, ..., n.    (47.19)
   Из формул (47.19) можно выразить "кому что надо": если, ска-
жем, коэффициенты Тейлора найдены с помощью схемы Горнера,
то формулы (47.19) позволяют вычислить значения всех производ-
ных данного многочлена в точке c ∈ P ; можно, наоборот, придать
формуле Тейлора "аналитический вид", выразив ее коэффициенты
через производные:
                                  n
                                  X f (k) (c)
                        f (x) =                 (x − c)k .           (47.20)
                                        k!
                                  k=0

   Замечание 47.5. Именно в записи (47.20) формула Тейлора (для
многочленов) встретится вам в курсе математического анализа. В
этой науке по Тейлору разлагаются не только многочлены, но и
другие, достаточное число раз дифференцируемые функции; для
них разложение должно содержать дополнительный (остаточный)
член.

Страницы