Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 444 стр.

444                   Алгебра многочленов                     Гл. 6

  По условию, имеет место представление

                         f (x) = (p(x))m g(x),               (47.22)

где p(x) - g(x), что, в силу неприводимости p(x), равносильно взаим-
ной простоте многочленов g(x) и p(x) [наличие у этих многочленов
общего делителя положительной степени противоречило бы непри-
водимости p(x)].
   Продифференцируем равенство (47.22), используя свойства про-
изводной (47.3) и (47.12):

              f 0 (x) = m(p(x))m−1 g(x) + (p(x))m g 0 (x).   (47.23)

  Если m = 1, то p(x) делит второе слагаемое в (47.23) и не делит
первое. Следовательно, p(x) не делит f 0 (x).
  Если m > 1, то приходится использовать тот факт, что

                             char(P ) = 0.

   Равенство нулю характеристики поля обеспечивает нам выполне-
ние неравенства m · 1 6= 0 [без этого предположения первое слагаемое
в (47.23) могло бы оказаться нулевым и дальнейшее рассуждение не
проходило бы].
   Очевидно, что правая часть (47.23) делится на (p(x))m−1 . Но она
не делится на (p(x))m . (Иначе, по свойствам отношения делимости,
многочлен p(x) делил бы g(x), а это противоречит предположению.)
   Значит, (p(x))m - f 0 (x). Первое утверждение доказано.
   2. Второе утверждение является частным случаем первого, по-
скольку многочлены первой степени x − c являются неприводимыми
и, по определению, кратность корня c (для некоторого многочлена)
есть не что иное, как кратность неприводимого делителя x − c (для
того же многочлена). ¤
  47.6. Отделение кратных неприводимых множителей
(кратных корней). Рассмотрим так называемую задачу отделе-
ния кратных неприводимых множителей многочлена (кратных
корней многочлена). [Не очень вразумительный термин "отделение",
возможно, является следствием неудачного перевода.]
  Задача состоит в следующем: по заданному многочлену f (x) по-
ложительной степени найти другой многочлен g(x), который имел
бы все те же неприводимые множители в разложении типа (45.13),