Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 446 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

446 Алгебра многочленов Гл. 6
f
0
(x) имеет в своем разложении неприводимые множители p
k
(x), где
k = 1, ..., s, с кратностями m
k
−1. Возможно, некоторые из этих крат-
ностей обращаются в нуль, и тогда соответствующие множители в
разложении для производной будут просто отсутствовать. Кроме
того, в разложение для f
0
(x) могут входить другие неприводимые
многочлены, не участвующие в разложении (47.24).
Вследствие этого, НОД d(x) будет иметь разложение (47.25), а
многочлен g(x) — разложение (47.27). ¤
Пример 47.2 (с использованием Maple, без комментариев).
> f := x ˆ 24 + 7∗ xˆ 23 + 24∗xˆ 22 + 56∗xˆ 21 + 92∗xˆ 20
+ 81∗xˆ 19 −61∗ xˆ 18 −400∗xˆ 17 − 924∗xˆ 16 − 1456∗xˆ 15
− 1633∗xˆ 14 − 1083∗xˆ 13 + 392∗xˆ 12 + 2732∗xˆ 11
+ 5472∗xˆ 10 + 7819∗xˆ 9 + 9121∗xˆ 8 + 9120∗xˆ 7 + 7884∗xˆ 6
+ 5856∗xˆ 5 + 3732∗xˆ 4 + 2016∗xˆ 3 + 864∗xˆ 2 + 252∗x + 36 ;
f := x
24
+ 7x
23
+ 24x
22
+ 56x
21
+ 92x
20
+ 81x
19
− 61x
18
− 400x
17
− 924x
16
− 1456x
15
− 1633x
14
− 1083x
13
+ 392x
12
+ 2732x
11
+ 5472x
10
+ 7819x
9
+ 9121x
8
+ 9120x
7
+ 7884x
6
+ 5856x
5
+ 3732x
4
+ 2016x
3
+ 864x
2
+ 252x + 36
> factor( f );
(x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1)
3
(x
4
− 6)
2
(x + 1)
4
> d := gcd( f, diff( f, x ) ); factor( d );
d := x
15
+ 5x
14
+ 12x
13
+ 20x
12
+ 22x
11
+ 4x
10
− 38x
9
− 92x
8
− 148x
7
− 192x
6
− 199x
5
− 167x
4
− 120x
3
− 71x
2
− 30x − 6
(x
4
− 6)(x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1)
2
(x + 1)
3
> divide( f, d, ’q’ ); g := q; factor( g );
true
g := x
9
+ 2x
8
+ 2x
7
+ 2x
6
− 4x
5
− 11x
4
− 12x
3
− 12x
2
− 12x − 6
(x + 1)(x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1)(x
4
− 6)
446                       Алгебра многочленов                    Гл. 6

f 0 (x) имеет в своем разложении неприводимые множители pk (x), где
k = 1, ..., s, с кратностями mk −1. Возможно, некоторые из этих крат-
ностей обращаются в нуль, и тогда соответствующие множители в
разложении для производной будут просто отсутствовать. Кроме
того, в разложение для f 0 (x) могут входить другие неприводимые
многочлены, не участвующие в разложении (47.24).
     Вследствие этого, НОД d(x) будет иметь разложение (47.25), а
многочлен g(x) — разложение (47.27). ¤
  Пример 47.2 (с использованием Maple, без комментариев).
  > f := x ˆ 24 + 7∗ xˆ 23 + 24∗xˆ 22 + 56∗xˆ 21 + 92∗xˆ 20
     + 81∗xˆ 19 −61∗ xˆ 18 −400∗xˆ 17 − 924∗xˆ 16 − 1456∗xˆ 15
     − 1633∗xˆ 14 − 1083∗xˆ 13 + 392∗xˆ 12 + 2732∗xˆ 11
     + 5472∗xˆ 10 + 7819∗xˆ 9 + 9121∗xˆ 8 + 9120∗xˆ 7 + 7884∗xˆ 6
     + 5856∗xˆ 5 + 3732∗xˆ 4 + 2016∗xˆ 3 + 864∗xˆ 2 + 252∗x + 36 ;


  f := x24 + 7x23 + 24x22 + 56x21 + 92x20 + 81x19 − 61x18 − 400x17
      − 924x16 − 1456x15 − 1633x14 − 1083x13 + 392x12 + 2732x11
      + 5472x10 + 7819x9 + 9121x8 + 9120x7 + 7884x6 + 5856x5
      + 3732x4 + 2016x3 + 864x2 + 252x + 36

  > factor( f );
                (x4 + x3 + x2 + x + 1)3 (x4 − 6)2 (x + 1)4
  > d := gcd( f, diff( f, x ) ); factor( d );


       d := x15 + 5x14 + 12x13 + 20x12 + 22x11 + 4x10 − 38x9 − 92x8
      − 148x7 − 192x6 − 199x5 − 167x4 − 120x3 − 71x2 − 30x − 6


                   (x4 − 6)(x4 + x3 + x2 + x + 1)2 (x + 1)3
  > divide( f, d, ’q’ ); g := q; factor( g );
                                    true
   g := x9 + 2x8 + 2x7 + 2x6 − 4x5 − 11x4 − 12x3 − 12x2 − 12x − 6
                    (x + 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)(x4 − 6)

Страницы