Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 448 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

448 Алгебра многочленов Гл. 6
т. е. прямого произведения n экземпляров множества Z
+
неотрица-
тельных целых чисел.
Мультииндексы из Z
n
+
можно складывать (по принципу сложения
векторов — покомпонентно); среди них имеется нулевой элемент —
мультииндекс (0 0 ... 0).
Определим отношение порядка на множестве Z
n
+
.
Определение 48.2. Пусть I, J ∈ Z
n
— два мультиииндекса:
I = (i
1
i
2
... i
n
); J = (j
1
j
2
... j
n
).
Будем говорить, что I раньше J (J позже I) и фиксировать этот
факт с помощью "искривленного" знака неравенства I ≺ J (соот-
ветственно J Â I), если найдется номер m (1 6 m 6 n) такой,
что все компоненты мультииндексов I и J с номерами меньшими
m (если таковые имеются) одинаковы, а компоненты с номером m
связаны неравенством i
m
< j
m
. (Иногда этот факт выражают дру-
гими словами: первая из ненулевых разностей i
s
− j
s
(s = 1, ..., n)
отрицательна.)
Будем использовать также обозначения 4 ("раньше или равен") и
< ("позже или равен") для "нестрогого варианта" рассматриваемых
отношений.
Предложение 48.1. 1. (Трихотомия.) Для любых двух муль-
тииндексов I, J ∈ Z
n
+
выполняется одно и только одно из трех соот-
ношений:
(I ≺ J) ∨ (I = J) ∨ (I Â J).
2. (Транзитивность.) Для любых трех мультииндексов I, J, K ∈
Z
n
+
справедливо
(I ≺ J) ∧ (J ≺ K) ⇒ (I ≺ K).
Доказательство. 1. Если I 6= J, то среди разностей i
s
− j
s
(где
s = 1, ..., n) найдутся ненулевые. Пусть первой из них будет i
m
−j
m
.
Если эта разность отрицательна, то будет выполняться I ≺ J; если
положительна, то наоборот: I Â J.
2. Неравенство I ≺ J означает, что среди разностей i
s
−j
s
первая
ненулевая i
m
−j
m
является отрицательной; аналогично неравенство
J ≺ K означает, что среди разностей j
s
− k
s
первая ненулевая раз-
ность j
l
− k
l
< 0.
448                    Алгебра многочленов                      Гл. 6

т. е. прямого произведения n экземпляров множества Z+ неотрица-
тельных целых чисел.
  Мультииндексы из Zn+ можно складывать (по принципу сложения
векторов — покомпонентно); среди них имеется нулевой элемент —
мультииндекс (0 0 ... 0).
  Определим отношение порядка на множестве Zn+ .
  Определение 48.2. Пусть I, J ∈ Zn — два мультиииндекса:

                   I = (i1 i2 ... in ); J = (j1 j2 ... jn ).

   Будем говорить, что I раньше J (J позже I) и фиксировать этот
факт с помощью "искривленного" знака неравенства I ≺ J (соот-
ветственно J Â I), если найдется номер m (1 6 m 6 n) такой,
что все компоненты мультииндексов I и J с номерами меньшими
m (если таковые имеются) одинаковы, а компоненты с номером m
связаны неравенством im < jm . (Иногда этот факт выражают дру-
гими словами: первая из ненулевых разностей is − js (s = 1, ..., n)
отрицательна.)
   Будем использовать также обозначения 4 ("раньше или равен") и
< ("позже или равен") для "нестрогого варианта" рассматриваемых
отношений.
  Предложение 48.1. 1. (Трихотомия.) Для любых двух муль-
тииндексов I, J ∈ Zn+ выполняется одно и только одно из трех соот-
ношений:
                     (I ≺ J) ∨ (I = J) ∨ (I Â J).
  2. (Транзитивность.) Для любых трех мультииндексов I, J, K ∈
Zn+справедливо

                    (I ≺ J) ∧ (J ≺ K) ⇒ (I ≺ K).


   Доказательство. 1. Если I 6= J, то среди разностей is − js (где
s = 1, ..., n) найдутся ненулевые. Пусть первой из них будет im − jm .
Если эта разность отрицательна, то будет выполняться I ≺ J; если
положительна, то наоборот: I Â J.
   2. Неравенство I ≺ J означает, что среди разностей is − js первая
ненулевая im − jm является отрицательной; аналогично неравенство
J ≺ K означает, что среди разностей js − ks первая ненулевая раз-
ность jl − kl < 0.

Страницы