Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 449 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 48 Многочлены от нескольких переменных 449
Если l < m, то первой ненулевой разностью среди i
s
− k
s
будет
i
l
− k
l
= j
l
− k
l
< 0.
Если l = m, то снова первой ненулевой разностью среди i
s
− k
s
будет i
l
− k
l
, причем
i
l
− k
l
= (i
l
− j
l
) + (j
l
− k
l
) = (i
m
− j
m
) + (i
l
− k
l
) < 0.
Если l > m, то первой ненулевой среди i
s
− k
s
будет
i
m
− k
m
= i
m
− j
m
< 0.
Во всех трех случаях приходим к выводу: I ≺ K . ¤
Замечание 48.2. Доказанное выше предложение 48.1 позволяет
утверждать, что отношение "раньше" является отношением линей-
ного порядка на множестве Z
n
+
.
Этот порядок принято называть лексикографическим.
Отметим еще, что нулевой мультииндекс является наименьшим
("самым ранним") элементом в линейно упорядоченном множестве
(Z
n
+
, 4).
Пример 48.1. В множестве Z
4
+
мультииндексов длины 4:
(7 0 0 0) Â (5 9 8 1) Â (5 9 6 8) Â (5 9 6 1) Â (3 2 2 0) Â (3 2 0 4).
Определение 48.3. Сумма всех компонент мультииндекса (48.1)
называется его нормой. Используется обозначение
|I| = i
1
+ i
2
+ ... + i
n
. (48.3)
Норма мультииндекса есть неотрицательное целое число (поло-
жительное, если мультииндекс ненулевой). Норма суммы мультиин-
дексов равна сумме норм.
Заметьте, что более ранний мультииндекс может иметь б´ольшую
норму.
Среди мультииндексов выделяются наши "старые знакомые" —
единичные векторы
E
1
= (1 0 ... 0), E
2
= (0 1 ... 0), ..., E
n
= (0 0 ... 1); (48.4)
§ 48            Многочлены от нескольких переменных                             449

   Если l < m, то первой ненулевой разностью среди is − ks будет

                              il − kl = jl − kl < 0.

  Если l = m, то снова первой ненулевой разностью среди is − ks
будет il − kl , причем

         il − kl = (il − jl ) + (jl − kl ) = (im − jm ) + (il − kl ) < 0.

   Если l > m, то первой ненулевой среди is − ks будет

                            im − km = im − jm < 0.

   Во всех трех случаях приходим к выводу: I ≺ K. ¤
   Замечание 48.2. Доказанное выше предложение 48.1 позволяет
утверждать, что отношение "раньше" является отношением линей-
ного порядка на множестве Zn+ .
   Этот порядок принято называть лексикографическим.
   Отметим еще, что нулевой мультииндекс является наименьшим
("самым ранним") элементом в линейно упорядоченном множестве
(Zn+ , 4).
   Пример 48.1. В множестве Z4+ мультииндексов длины 4:

       (7 0 0 0) Â (5 9 8 1) Â (5 9 6 8) Â (5 9 6 1) Â (3 2 2 0) Â (3 2 0 4).

  Определение 48.3. Сумма всех компонент мультииндекса (48.1)
называется его нормой. Используется обозначение

                             |I| = i1 + i2 + ... + in .                     (48.3)

  Норма мультииндекса есть неотрицательное целое число (поло-
жительное, если мультииндекс ненулевой). Норма суммы мультиин-
дексов равна сумме норм.
  Заметьте, что более ранний мультииндекс может иметь бо́льшую
норму.
  Среди мультииндексов выделяются наши "старые знакомые" —
единичные векторы

          E1 = (1 0 ... 0), E2 = (0 1 ... 0), ..., En = (0 0 ... 1);        (48.4)

Страницы