Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 451 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 48 Многочлены от нескольких переменных 451
в I + K будут совпадать с соответствующими номерами в J + K и
будет выполняться неравенство i
s
+ k
s
< j
s
+ k
s
. Этим доказывается
первое утверждение.
2. Второе утверждение получается с помощью первого "в три
приема": из двух импликаций ( I ≺ J ) ⇒ ( I + K ≺ J + K ) и
( K ≺ L ) ⇒ ( J + K ≺ J + L ) следует третья — (48.7). ¤
Замечание 48.4. Лексикографический порядок не является един-
ственным разумным порядком на множестве мультииндексов. Во
многих отношениях более предпочтительным является d-лексико-
графический порядок
d
≺, с предварительной группировкой мультиин-
дексов по возрастанию нормы, с последующим лексикографическим
упорядочением мультииндексов внутри каждой группы.
Убедитесь в том, что d-лексикографический порядок, так же как
и описанный ранее "чисто лексикографический", согласован со сло-
жением.
Важнейшее свойство лексикографического порядка в множестве
мультииндексов выражает следующее
Предложение 48.3. Не существует бесконечной строго убыва-
ющей последовательности мультииндексов (фиксированной длины)
вида
I
(1)
 I
(2)
 I
(3)
 ... (48.8)
Доказательство. Обратите с самого начала внимание на систе-
му нумерации. Номер мультииндекса, члена последовательности
{I
(k)
}
∞
k =1
, ставится сверху в скобках; номер компоненты мультиин-
декса ставится снизу.
Первые компоненты мультииндексов (48.8) образуют последова-
тельность неотрицательных целых чисел {i
(k )
1
}
∞
k=1
. Согласно опреде-
лению лексикографического порядка, эта последовательность явля-
ется невозрастающей, и следовательно, она неизбежно стабилизи-
руется, т. е., начиная с некоторого номера k
1
, все числа i
(k)
1
(k > k
1
)
одинаковы.
Теперь надо смотреть на вторые компоненты: {i
(k )
2
}
∞
k=k
1
. В силу
убывания последовательности мультииндексов (48.8), эта последова-
тельность неотрицательных целых чисел невозрастает и, как след-
ствие, стабилизируется, начиная с некоторого номера k
2
> k
1
; и т. д.
§ 48         Многочлены от нескольких переменных                    451

в I + K будут совпадать с соответствующими номерами в J + K и
будет выполняться неравенство is + ks < js + ks . Этим доказывается
первое утверждение.
   2. Второе утверждение получается с помощью первого "в три
приема": из двух импликаций ( I ≺ J ) ⇒ ( I + K ≺ J + K ) и
( K ≺ L ) ⇒ ( J + K ≺ J + L ) следует третья — (48.7). ¤
   Замечание 48.4. Лексикографический порядок не является един-
ственным разумным порядком на множестве мультииндексов. Во
многих отношениях более предпочтительным является d-лексико-
                       d
графический порядок ≺, с предварительной группировкой мультиин-
дексов по возрастанию нормы, с последующим лексикографическим
упорядочением мультииндексов внутри каждой группы.
   Убедитесь в том, что d-лексикографический порядок, так же как
и описанный ранее "чисто лексикографический", согласован со сло-
жением.
  Важнейшее свойство лексикографического порядка в множестве
мультииндексов выражает следующее
  Предложение 48.3. Не существует бесконечной строго убыва-
ющей последовательности мультииндексов (фиксированной длины)
вида
                     I (1) Â I (2) Â I (3) Â ...       (48.8)



    Доказательство. Обратите с самого начала внимание на систе-
му нумерации. Номер мультииндекса, члена последовательности
{I (k) }∞
        k=1 , ставится сверху в скобках; номер компоненты мультиин-
декса ставится снизу.
    Первые компоненты мультииндексов (48.8) образуют последова-
                                             (k)
тельность неотрицательных целых чисел {i1 }∞     k=1 . Согласно опреде-
лению лексикографического порядка, эта последовательность явля-
ется невозрастающей, и следовательно, она неизбежно стабилизи-
                                                             (k)
руется, т. е., начиная с некоторого номера k1 , все числа i1 (k > k1 )
одинаковы.
                                                        (k)
    Теперь надо смотреть на вторые компоненты: {i2 }∞       k=k1 . В силу
убывания последовательности мультииндексов (48.8), эта последова-
тельность неотрицательных целых чисел невозрастает и, как след-
ствие, стабилизируется, начиная с некоторого номера k2 > k1 ; и т. д.

Страницы