Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 452 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

452 Алгебра многочленов Гл. 6
Начиная с некоторого номера k
n
(k
n
> ... > k
2
> k
1
), стабилизи-
руются все последовательности компонент {i
(k)
s
}
∞
k=k
n
(s = 1, ..., n).
Значит, стабилизируется и последовательность мультииндексов
{I
(k)
}
∞
k =k
n
, что противоречит ее строгому убыванию.
Тем самым доказано, что последовательностей вида (48.8) не су-
ществует. ¤
Замечание 48.5. Предложение 48.3 остается в силе для d-лекси-
кографического порядка (см. замечание 48.4).
[Обратим ваше внимание на еще одно, очень интересное сочи-
нение, посвященное компьютерной алгебре: Д. Кокс, Дж. Литтл,
Д. О’Ши. "Идеалы, многообразия и алгоритмы" (М.: Мир, 2000). В
этой книге, в частности, подробно обсуждаются различные способы
упорядочения мультииндексов, похожие на лексикографический, но
в некоторых отношениях более предпочтительные для организации
вычислений.]
48.2. Многочлены от нескольких переменных. Лексико-
графическое упорядочение одночленов. Дадим теперь строгое
определение множества P [x
1
, x
2
, ..., x
n
] многочленов от n перемен-
ных x
1
, x
2
, ..., x
n
, над полем P. (Точнее, это будет целая серия опре-
делений, объединенных в одно.)
Определение 48.4. Одночленом от переменных из списка
x = [ x
1
, x
2
, ..., x
n
], (48.9)
соответствующим мультииндексу
I = ( i
1
i
2
... i
n
) ∈ Z
n
+
называется выражение, обозначаемое и определяемое следующим
равенством:
ax
I
= ax
i
1
x
i
2
... x
i
n
, (48.10)
где коэффициент a ∈ P.
Два одночлена называются подобными, если они отвечают одному
и тому же мультииндексу.
Мультииндекс I называется мультистепенью одночлена (48.10) с
ненулевым коэффициентом a; степенью одночлена (48.10) называет-
ся норма |I| мультииндекса I (иногда говорят о тотальной степени
одночлена "по совокупности переменных").
452                    Алгебра многочленов                        Гл. 6

   Начиная с некоторого номера kn (kn > ... > k2 > k1 ), стабилизи-
                                            (k)
руются все последовательности компонент {is }∞  k=kn (s = 1, ..., n).
   Значит, стабилизируется и последовательность мультииндексов
  (k) ∞
{I }k=kn , что противоречит ее строгому убыванию.
   Тем самым доказано, что последовательностей вида (48.8) не су-
ществует. ¤
   Замечание 48.5. Предложение 48.3 остается в силе для d-лекси-
кографического порядка (см. замечание 48.4).
   [Обратим ваше внимание на еще одно, очень интересное сочи-
нение, посвященное компьютерной алгебре: Д. Кокс, Дж. Литтл,
Д. О’Ши. "Идеалы, многообразия и алгоритмы" (М.: Мир, 2000). В
этой книге, в частности, подробно обсуждаются различные способы
упорядочения мультииндексов, похожие на лексикографический, но
в некоторых отношениях более предпочтительные для организации
вычислений.]
  48.2. Многочлены от нескольких переменных. Лексико-
графическое упорядочение одночленов. Дадим теперь строгое
определение множества P [x1 , x2 , ..., xn ] многочленов от n перемен-
ных x1 , x2 , ..., xn , над полем P. (Точнее, это будет целая серия опре-
делений, объединенных в одно.)
  Определение 48.4. Одночленом от переменных из списка

                          x = [ x1 , x2 , ..., xn ],               (48.9)

соответствующим мультииндексу

                         I = ( i1 i2 ... in ) ∈ Zn+

называется выражение, обозначаемое и определяемое следующим
равенством:
                      axI = axi1 xi2 ... xin ,        (48.10)
где коэффициент a ∈ P.
   Два одночлена называются подобными, если они отвечают одному
и тому же мультииндексу.
   Мультииндекс I называется мультистепенью одночлена (48.10) с
ненулевым коэффициентом a; степенью одночлена (48.10) называет-
ся норма |I| мультииндекса I (иногда говорят о тотальной степени
одночлена "по совокупности переменных").

Страницы