Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 454 стр.

454                  Алгебра многочленов                    Гл. 6

  Кроме того, в формуле (48.13) заложена возможность перестанов-
ки неизвестных: запись x2 x1 считается столь же допустимой, как и
запись x1 x2 , но в окончательном виде рекомендуется размещать пе-
ременные в произведениях в установленном для них порядке.

  Процедура умножения многочленов такова:
  — перемножить две конечные суммы (раскрыть скобки; здесь "за-
кладывается" будущий дистрибутивный закон);
  — каждое из полученных произведений "упростить" по правилу
умножения одночленов (48.13);
  — привести подобные одночлены.

   Замечание 48.7. Итак, вам предлагается "поверить", что с опи-
санными выше алгебраическими действиями сложения и умножения
множество P [x1 , x2 , ..., xn ] является коммутативным кольцом.
   Один из способов не поверить, а понять — убедиться в совпадении
описанных действий с теми, которые возникают в кольце многочле-
нов при его индуктивном построении [см. (46.28)].
   При индуктивном построении тот факт, что получается кольцо, не
требует отдельного доказательства. Более того, как мы уже знаем
(см. пример 46.2), это кольцо оказывается факториальным. (При-
чем не только в случае поля коэффициентов, но и в случае, когда
коэффициенты берутся из факториального кольца.)
   По-видимому, очевидными являются свойства степени многочле-
нов от нескольких переменных: 1) при сложении степень суммы не
превосходит максимальной из степеней слагаемых; 2) при умноже-
нии степень произведения равняется сумме степеней сомножителей.

  Для многочленов от одной переменной существуют две естествен-
ные записи: по возрастанию степеней и по убыванию степеней.
Для многочленов от двух и более переменных может существовать
много одночленов-слагаемых одинаковой степени и возникает про-
блема выбора "естественного порядка" записи членов в многочлене.
  Эта проблема решается с помощью предварительного выбора по-
рядка в множестве переменных.
  Порядок в множестве переменных устанавливается либо их ну-
мерацией по типу (48.9), либо, если переменные обозначаются все
различными буквами, явным указанием порядка (скажем, алфавит-
ного) в множестве используемых букв. (Второй способ ничем прин-
ципиально не отличается от первого: фактически, каждой из букв-
переменных присваивается свой порядковый номер.)