Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 453 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 48 Многочлены от нескольких переменных 453
(Можно определить также степень одночлена отдельно по каждой
из участвующих в нем переменных. А если некоторая переменная в
рассматриваемый одночлен не входит, то его степень по этой пере-
менной считается равной нулю.)
Многочленом от переменных (48.9) называется формальная сумма
f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =
X
I∈Z
n
+
f
I
x
I
, (48.11)
бесконечная, но финитная, т. е. такая, что лишь конечное число
коэффициентов f
I
∈ P отлично от нуля.
[Сумма (48.11) не содержит подобных членов. Можно использо-
вать сокращенное обозначение f(x), понимая под x список (48.9).]
Два многочлена, f(x) и g(x), от n переменных, называются рав-
ными, если они равны "покоэффициентно", т. е. если для любого
мультииндекса I ∈ Z
n
+
справедливо f
I
= g
I
.
Степенью
(или
тотальной
степенью) многочлена (48.11) назы-
вается максимальная из степеней, входящих в него (ненулевых) од-
ночленов. Обозначение:
deg( f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) ) = max{|I| : I ∈ Z
n
+
∧ f
I
6= 0 }. (48.12)
Приступаем к описанию алгебраических действий в множестве
многочленов от нескольких переменных. Описание это будет не со-
всем строгим, обзорным, вполне "школьным" по духу. (Ведь мно-
гочлены от многих переменных фактически вводятся в школьном
курсе алгебры.)
Обоснование корректности приводимых ниже определений (и тем
более проверку выполнения аксиом кольца) мы здесь приводить не
будем. (Для случая многочленов от одной переменной более или
менее строгое обоснование излагалось в § 36.)
Сложение двух многочленов вида (48.11) осуществляется по "век-
торному принципу": складываются все соответствующие коэффи-
циенты. Умножение двух одночленов вида (48.10) производится по
правилу:
(ax
I
) · (bx
J
) = ab x
I+J
= ab x
i
1
+j
1
1
x
i
2
+j
2
2
... x
i
n
+j
n
n
. (48.13)
Замечание 48.6. Обратите внимание на использование сложения
мультииндексов — "мультистепеней" одночленов. "Настоящие" (то-
тальные) степени тоже складываются.
§ 48            Многочлены от нескольких переменных                          453

   (Можно определить также степень одночлена отдельно по каждой
из участвующих в нем переменных. А если некоторая переменная в
рассматриваемый одночлен не входит, то его степень по этой пере-
менной считается равной нулю.)
   Многочленом от переменных (48.9) называется формальная сумма
                                            X
                   f (x1 , x2 , ..., xn ) =   fI xI ,     (48.11)
                                                  I∈Zn
                                                     +


бесконечная, но финитная, т. е. такая, что лишь конечное число
коэффициентов fI ∈ P отлично от нуля.
   [Сумма (48.11) не содержит подобных членов. Можно использо-
вать сокращенное обозначение f (x), понимая под x список (48.9).]
   Два многочлена, f (x) и g(x), от n переменных, называются рав-
ными, если они равны "покоэффициентно", т. е. если для любого
мультииндекса I ∈ Zn+ справедливо fI = gI .
   Степенью (или тотальной степенью) многочлена (48.11) назы-
вается максимальная из степеней, входящих в него (ненулевых) од-
ночленов. Обозначение:

       deg( f (x1 , x2 , ..., xn ) ) = max{ |I| : I ∈ Zn+ ∧ fI 6= 0 }.     (48.12)

   Приступаем к описанию алгебраических действий в множестве
многочленов от нескольких переменных. Описание это будет не со-
всем строгим, обзорным, вполне "школьным" по духу. (Ведь мно-
гочлены от многих переменных фактически вводятся в школьном
курсе алгебры.)
   Обоснование корректности приводимых ниже определений (и тем
более проверку выполнения аксиом кольца) мы здесь приводить не
будем. (Для случая многочленов от одной переменной более или
менее строгое обоснование излагалось в § 36.)
   Сложение двух многочленов вида (48.11) осуществляется по "век-
торному принципу": складываются все соответствующие коэффи-
циенты. Умножение двух одночленов вида (48.10) производится по
правилу:

         (axI ) · (bxJ ) = ab xI+J = ab xi11 +j1 xi22 +j2 ... xnin +jn .   (48.13)

  Замечание 48.6. Обратите внимание на использование сложения
мультииндексов — "мультистепеней" одночленов. "Настоящие" (то-
тальные) степени тоже складываются.

Страницы