Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 455 стр.

§ 48           Многочлены от нескольких переменных             455

  Пусть переменные уже упорядочены по типу (48.9). Определим
иерархию одночленов от этих переменных по высоте.
   Определение 48.5. Рассмотрим два (ненулевых) одночлена axI
и bxJ . Будем считать, что axI ниже bxJ (а bxJ выше axI ), если
мультииндекс I раньше мультииндекса J (J позже I).
   Для отношений "ниже" ("выше") среди одночленов будем исполь-
зовать те же символы, что и для отношений "раньше" ("позже")
среди мультииндексов. Таким образом,

                        ( axI ≺ bxJ ) ⇔ ( I ≺ J )            (48.14)

независимо от значений (ненулевых) коэффициентов a и b.
  Замечание 48.8. Согласованность лексикографического порядка
для мультииндексов с их сложением влечет (см. замечание 48.6) со-
гласованность лексикографического порядка для одночленов с их
умножением:

                ( axI ≺ bxJ ) ⇒ ( axI · cxK ≺ bxJ · cxK ).

  Все сказанное о лексикографическом порядке переносится на слу-
чай d-лексикографического порядка.
  Сформулируем далее утверждение, относящееся к лексикографи-
ческому порядку для одночленов, вытекающее из аналогичного утве-
рждения для мультииндексов (см. предложение 48.3).
  Предложение 48.4. Не существует бесконечной последователь-
ности одночленов от переменных (48.9), такой, что каждый следую-
щий одночлен ниже предыдущего.
  Доказательство немедленно следует из предложения 48.3 и опре-
деления 48.5. (Данное предложение также сохраняет силу для по-
       d
рядка ≺ .) ¤
  Замечание 48.9. После выбора лексикографического порядка сре-
ди одночленов fI xI (fI 6= 0), входящих в многочлен f (x) (напомним:
предполагается, что многочлен не содержит различных подобных
членов; именно поэтому все его (ненулевые) члены оказываются ли-
нейно упорядоченными по высоте), снова, как и для многочленов от
одной переменной, возникают две естественные возможности записи
членов многочлена: либо в порядке возрастания "высоты", либо в
противоположном порядке.