Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 457 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 48 Многочлены от нескольких переменных 457
p := 3x
5
1
x
9
2
+ 4x
6
1
x
2
− 2x
1
x
2
x
5
3
− 11x
4
2
x
3
+ 5x
2
1
x
3
+ 2x
1
x
2
x
10
3
− 23x
1
+ 4x
2
− 8x
3
+ x
11
3
− x
1
x
67
2
+ x
1
x
10
3
> sort( p, [ x[1], x[2], x[3] ], tdeg );
− x
1
x
67
2
+ 3x
5
1
x
9
2
+ 2x
1
x
2
x
10
3
+ x
1
x
10
3
+ x
11
3
+ 4x
6
1
x
2
− 2x
1
x
2
x
5
3
− 11x
4
2
x
3
+ 5x
2
1
x
3
− 23x
1
+ 4x
2
− 8x
3
> sort( p, [ x[1], x[2], x[3] ], plex );
4x
6
1
x
2
+ 3x
5
1
x
9
2
+ 5x
2
1
x
3
− x
1
x
67
2
+ 2x
1
x
2
x
10
3
− 2x
1
x
2
x
5
3
+ x
1
x
10
3
− 23x
1
− 11x
4
2
x
3
+ 4x
2
+ x
11
3
− 8x
3
48.3. Лемма о высшем члене произведения многочле-
нов. В заголовок подпункта вынесено традиционное название сле-
дующего утверждения.
Предложение 48.5. Высшим членом произведения многочле-
нов является произведение высших членов сомножителей.
Доказательство. Пусть f
I
0
x
I
0
— высший член многочлена f(x),
а g
J
0
x
J
0
— высший член g(x).
Это означает, что для любых (ненулевых) членов f
I
x
I
и g
J
x
J
справедливо: I
0
< I и J
0
< J. Если хотя бы один из этих чле-
нов отличен от высшего (в своем многочлене), то хотя бы одно из
("искривленных") неравенств для мультииндексов является стро-
гим. По предложению 48.2, отсюда следует (строгое) неравенство
I
0
+ J
0
 I + J.
А значит, справедливо (строгое) неравенство для одночленов
f
I
0
g
J
0
x
I
0
+J
0
 f
I
g
J
x
I+J
,
что собственно и утверждалось.
(Правда, среди одночленов f
I
g
J
x
I+J
могут быть подобные, но при
приведении подобных "мультистепени" I + J сохраняются, либо же
§ 48           Многочлены от нескольких переменных                              457




       p := 3x51 x92 + 4x61 x2 − 2x1 x2 x53 − 11x42 x3 + 5x21 x3 + 2x1 x2 x10
                                                                           3

                    − 23x1 + 4x2 − 8x3 + x11      67      10
                                          3 − x1 x2 + x1 x3


   > sort( p, [ x[1], x[2], x[3] ], tdeg );


       − x1 x67    5 9            10      10   11    6              5
             2 + 3x1 x2 + 2x1 x2 x3 + x1 x3 + x3 + 4x1 x2 − 2x1 x2 x3

                  − 11x42 x3 + 5x21 x3 − 23x1 + 4x2 − 8x3

   > sort( p, [ x[1], x[2], x[3] ], plex );


       4x61 x2 + 3x51 x92 + 5x21 x3 − x1 x67          10          5       10
                                          2 + 2x1 x2 x3 − 2x1 x2 x3 + x1 x3

                     − 23x1 − 11x42 x3 + 4x2 + x11
                                                3 − 8x3



  48.3. Лемма о высшем члене произведения многочле-
нов. В заголовок подпункта вынесено традиционное название сле-
дующего утверждения.
  Предложение 48.5. Высшим членом произведения многочле-
нов является произведение высших членов сомножителей.
   Доказательство. Пусть fI0 xI0 — высший член многочлена f (x),
а gJ0 xJ0 — высший член g(x).
   Это означает, что для любых (ненулевых) членов fI xI и gJ xJ
справедливо: I0 < I и J0 < J. Если хотя бы один из этих чле-
нов отличен от высшего (в своем многочлене), то хотя бы одно из
("искривленных") неравенств для мультииндексов является стро-
гим. По предложению 48.2, отсюда следует (строгое) неравенство
I0 + J0 Â I + J.
   А значит, справедливо (строгое) неравенство для одночленов

                          fI0 gJ0 xI0 +J0 Â fI gJ xI+J ,

что собственно и утверждалось.
  (Правда, среди одночленов fI gJ xI+J могут быть подобные, но при
приведении подобных "мультистепени" I + J сохраняются, либо же

Страницы