Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 459 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 459
48.5. Композиция многочленов (подстановка многочле-
нов в многочлен). Рассмотрим многочлен g(y
1
, y
2
, ..., y
r
) вида
g(y) =
X
J∈Z
r
+
g
J
y
J
,
степени m, от переменных y = [y
1
, y
2
, ..., y
r
], и еще r многочленов
h
k
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) [k = 1, .....r]
от n переменных (48.9). Степени этих многочленов обозначим d
k
.
Подставим вместо каждой из исходных переменных y
k
в каждый
из членов многочлена g(y) выражения
y
k
= h
k
(x
1
, x
2
, ..., x
n
). (48.17)
Получим (для одночлена g
J
y
J
):
g
J
y
j
1
1
y
j
2
2
... y
j
r
r
= g
J
(h
1
(x))
j
1
(h
2
(x))
j
2
... (h
r
(x))
j
r
, (48.18)
являющееся многочленом от x степени d
1
j
1
+ ... + d
r
j
r
.
Для многочлена g(y) в целом получим после подстановки много-
член
f(x
1
, ..., x
n
) = g(h
1
(x
1
, ..., x
n
), ..., h
r
(x
1
, ..., x
n
)), (48.19)
называемый композицией многочлена g(y) и многочленов h
k
(x).
Степень многочлена f(x) будет равняться наибольшему из чисел
d
1
j
1
+ ... + d
r
j
r
, при том что J = (j
1
... j
r
) пробегает множество всех
таких мультииндексов, которым отвечают ненулевые члены в g(y).
§
§
§ 49. Симметрические многочлены
49.1. Определение симметрического многочлена
Определение 49.1. Многочлен
f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ P [x
1
, x
2
, ..., x
n
]
§ 49                   Симметрические многочлены                                459

  48.5. Композиция многочленов (подстановка многочле-
нов в многочлен). Рассмотрим многочлен g(y1 , y2 , ..., yr ) вида
                                            X
                                  g(y) =           gJ y J ,
                                           J∈Zr+


степени m, от переменных y = [y1 , y2 , ..., yr ], и еще r многочленов

                          hk (x1 , x2 , ..., xn ) [k = 1, .....r]

от n переменных (48.9). Степени этих многочленов обозначим dk .
   Подставим вместо каждой из исходных переменных yk в каждый
из членов многочлена g(y) выражения

                              yk = hk (x1 , x2 , ..., xn ).                   (48.17)

   Получим (для одночлена gJ y J ):

        gJ y1j1 y2j2 ... yrjr = gJ (h1 (x))j1 (h2 (x))j2 ... (hr (x))jr ,     (48.18)

являющееся многочленом от x степени d1 j1 + ... + dr jr .
  Для многочлена g(y) в целом получим после подстановки много-
член

        f (x1 , ..., xn ) = g(h1 (x1 , ..., xn ), ..., hr (x1 , ..., xn )),   (48.19)

называемый композицией многочлена g(y) и многочленов hk (x).
    Степень многочлена f (x) будет равняться наибольшему из чисел
d1 j1 + ... + dr jr , при том что J = (j1 ... jr ) пробегает множество всех
таких мультииндексов, которым отвечают ненулевые члены в g(y).



            § 49. Симметрические многочлены

   49.1. Определение симметрического многочлена
   Определение 49.1. Многочлен

                      f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ P [x1 , x2 , ..., xn ]

Страницы