Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 461 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 461
Одночлены в скобке можно расположить лексикографически:
a · (x
4
1
x
3
2
x
3
+ x
4
1
x
2
x
3
3
+ x
3
1
x
4
2
x
3
+ x
3
1
x
2
x
4
3
+ x
1
x
4
2
x
3
3
+ x
1
x
3
2
x
4
3
).
Обратите внимание на то обстоятельство, что мультистепень
I = (4 3 1) высшего члена является монотонным (неубывающим)
мультииндексом. (Как мы убедимся ниже, в предложении 49.1, это
совершенно не случайно.)
Замечание 49.2. К числу симметрических многочленов можно от-
нести все скалярные многочлены (в их числе и нулевой).
Если многочлены f(x), g(x) ∈ P
sym
[x], то их сумма и произведение
также являются симметрическими многочленами. (Попробуйте осо-
знать это в свете сказанного в предыдущем замечании о "строении"
симметрических многочленов. Осознав, проведите доказательство
последнего утверждения.)
Иначе это утверждение выражается следующим образом: мно-
жество симметрических многочленов P
sym
[x] является подкольцом в
кольце P [x] всех многочленов от n переменных.
Рассуждение можно продолжить и заметить сначала, что произ-
вольная неотрицательная степень симметрического многочлена яв-
ляется симметрическим многочленом, а затем прийти к выводу о
том, что, подставив в произвольный многочлен g(y
1
, ..., y
r
) вместо пе-
ременных y
k
симметрические многочлены h
k
(x
1
, ..., x
n
) (см. п. 48.6),
мы получим симметрический многочлен-композицию (48.19).
Пример 49.1. Очевидным образом симметричны (и однородны)
следующие степенные суммы:
π
k
(x) = x
k
1
+ x
k
2
+ ... + x
k
n
, (49.3)
где k = 1, 2, 3, ...
[Многочлены (49.3) можно рассматривать над любым полем.]
Пример 49.2. Рассмотрим так называемые элементарные сим-
метрические (э.с.) многочлены
σ
1
(x) = x
1
+ x
2
+ ... + x
n
;
σ
2
(x) = x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ ... + x
1
x
n
+ x
2
x
3
+ ... + x
n−1
x
n
;
..............................................................................................
σ
n−1
(x) = x
1
x
2
... x
n−1
+ x
1
x
2
... x
n−2
x
n
+ ... + x
2
x
3
... x
n
;
σ
n
(x) = x
1
x
2
... x
n
.
(49.4)
§ 49                        Симметрические многочлены                                            461

   Одночлены в скобке можно расположить лексикографически:

       a · (x41 x32 x3 + x41 x2 x33 + x31 x42 x3 + x31 x2 x43 + x1 x42 x33 + x1 x32 x43 ).

   Обратите внимание на то обстоятельство, что мультистепень
I = (4 3 1) высшего члена является монотонным (неубывающим)
мультииндексом. (Как мы убедимся ниже, в предложении 49.1, это
совершенно не случайно.)
  Замечание 49.2. К числу симметрических многочленов можно от-
нести все скалярные многочлены (в их числе и нулевой).
  Если многочлены f (x), g(x) ∈ Psym [x], то их сумма и произведение
также являются симметрическими многочленами. (Попробуйте осо-
знать это в свете сказанного в предыдущем замечании о "строении"
симметрических многочленов. Осознав, проведите доказательство
последнего утверждения.)
  Иначе это утверждение выражается следующим образом: мно-
жество симметрических многочленов Psym [x] является подкольцом в
кольце P [x] всех многочленов от n переменных.
  Рассуждение можно продолжить и заметить сначала, что произ-
вольная неотрицательная степень симметрического многочлена яв-
ляется симметрическим многочленом, а затем прийти к выводу о
том, что, подставив в произвольный многочлен g(y1 , ..., yr ) вместо пе-
ременных yk симметрические многочлены hk (x1 , ..., xn ) (см. п. 48.6),
мы получим симметрический многочлен-композицию (48.19).
  Пример 49.1. Очевидным образом симметричны (и однородны)
следующие степенные суммы:

                                πk (x) = xk1 + xk2 + ... + xkn ,                               (49.3)

где k = 1, 2, 3, ...
   [Многочлены (49.3) можно рассматривать над любым полем.]
  Пример 49.2. Рассмотрим так называемые элементарные сим-
метрические (э.с.) многочлены
 
 
      σ1 (x) = x1 + x2 + ... + xn ;
 
 
 
  σ2 (x) = x1 x2 + x1 x3 + ... + x1 xn + x2 x3 + ... + xn−1 xn ;
 
   .............................................................................................. (49.4)
 
 
 
  σn−1 (x) = x1 x2 ... xn−1 + x1 x2 ... xn−2 xn + ... + x2 x3 ... xn ;
 
 
 
       σn (x) = x1 x2 ... xn .

Страницы