Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 462 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

462 Алгебра многочленов Гл. 6
Многочлен σ
k
(x) [k = 1, ..., n] является суммой всех C
k
n
возмож-
ных произведений по k (из общего числа n) переменных. Симмет-
ричность и однородность этих многочленов очевидны, как и то, что
в формулах (49.4) они представлены в лексикографическом порядке.
[Многочлены (49.4) уже встречались нам в § 40, в формулах Вие-
та; они также определены над произвольным полем.]
Пример 49.3. Еще один пример, в котором многочлен представ-
лен не в стандартной записи, а разложенным на множители. (Имен-
но в таком виде очевидна его симметричность.)
D
n
(x) = (x
2
− x
1
)
2
(x
3
− x
1
)
2
(x
3
− x
2
)
2
... ·
· (x
n
− x
1
)
2
(x
n
− x
2
)
2
... (x
n
− x
n−1
)
2
. (49.5)
Этот многочлен есть не что иное, как квадрат определителя Ван-
дермонда (см. п. 30а.5):
D
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) = (∆
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
))
2
. (49.5a)
(Без возведения в квадрат, многочлен ∆
n
(x) не является симмет-
рическим. Он является антисимметрическим. Такие многочлены
также представляют интерес и изучаются.)
Многочлен D
n
(x) определен над произвольным полем и является
однородным, степени 2C
2
n
.
49.2. Лемма о высшем члене симметрического многочле-
на. Как и в названии п. 48.3, в заголовке данного пункта — тради-
ционное наименование следующего утверждения.
Предложение 49.1. Пусть f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) — симметрический
многочлен и
f
I
x
I
= f
I
x
i
1
1
x
i
2
2
... x
i
n
n
= h.t.(f(x)) (49.6)
— его высший член.
Тогда мультииндекс I является монотонным (неубывающим), т. е.
i
1
> i
2
> ... > i
n
. (49.7)
Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся два
соседних номера i
k
, i
k+1
(k 6 n − 1) в мультииндексе I, такие, что
i
k
< i
k +1
.
462                       Алгебра многочленов                                  Гл. 6

   Многочлен σk (x) [k = 1, ..., n] является суммой всех Cnk возмож-
ных произведений по k (из общего числа n) переменных. Симмет-
ричность и однородность этих многочленов очевидны, как и то, что
в формулах (49.4) они представлены в лексикографическом порядке.
   [Многочлены (49.4) уже встречались нам в § 40, в формулах Вие-
та; они также определены над произвольным полем.]
  Пример 49.3. Еще один пример, в котором многочлен представ-
лен не в стандартной записи, а разложенным на множители. (Имен-
но в таком виде очевидна его симметричность.)

  Dn (x) = (x2 − x1 )2 (x3 − x1 )2 (x3 − x2 )2 ... ·
                              · (xn − x1 )2 (xn − x2 )2 ... (xn − xn−1 )2 .    (49.5)

  Этот многочлен есть не что иное, как квадрат определителя Ван-
дермонда (см. п. 30а.5):

                 Dn (x1 , x2 , ..., xn ) = (∆n (x1 , x2 , ..., xn ))2 .       (49.5a)

  (Без возведения в квадрат, многочлен ∆n (x) не является симмет-
рическим. Он является антисимметрическим. Такие многочлены
также представляют интерес и изучаются.)
  Многочлен Dn (x) определен над произвольным полем и является
однородным, степени 2Cn2 .
  49.2. Лемма о высшем члене симметрического многочле-
на. Как и в названии п. 48.3, в заголовке данного пункта — тради-
ционное наименование следующего утверждения.
  Предложение 49.1. Пусть f (x1 , x2 , ..., xn ) — симметрический
многочлен и
             fI xI = fI xi11 xi22 ... xinn = h.t.(f (x))    (49.6)
— его высший член.
  Тогда мультииндекс I является монотонным (неубывающим), т. е.

                                i1 > i2 > ... > in .                           (49.7)



   Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся два
соседних номера ik , ik+1 (k 6 n − 1) в мультииндексе I, такие, что
ik < ik+1 .

Страницы