Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 463 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 463
В силу замечания 49.1, наряду с (высшим) членом
f
I
x
i
1
1
x
i
2
2
... x
i
k
k
x
i
k+1
k+1
... x
i
n
n
, (49.6
0
)
симметрический многочлен f(x) обязан содержать член
f
I
x
i
1
1
x
i
2
2
... x
i
k
k +1
x
i
k+1
k
... x
i
n
n
= f
I
x
i
1
1
x
i
2
2
... x
i
k+1
k
x
i
k
k+1
... x
i
n
n
, (49.8)
который выше (49.6
0
). Противоречие. ¤
49.3. Моногенные симметрические многочлены
Определение 49.2. Моногенным называется такой многочлен
от n переменных, все члены которого получаются из одного из них
("порождающего") с помощью всевозможных перестановок перемен-
ных (причем, если различные перестановки приводят к одинаковым
членам, то берется лишь один из них).
Моногенный многочлен, порожденный одночленом ax
I
, обознача-
ется S(ax
I
).
Замечание 49.3. Ясно, что моногенный многочлен является сим-
метрическим и однородным и что в качестве "порождающего" мож-
но взять любой из его членов.
Операция ax
I
7→ S(ax
I
) может быть охарактеризована как "сим-
метрическое размножение" одночлена, приводящее к моногенному
многочлену.
Замечание 49.4. Согласно изложенному выше, в п. 48.4, всякий
многочлен f(x) степени m от n переменных разбивается в сумму
однородных многочленов (форм), степень которых изменяется от 0
до m:
f(x) = f
(0)
+ f
(1)
(x) + f
(2)
(x) + ... + f
(m)
(x). (49.9)
Очевидно, что если данный многочлен являлся симметрическим,
то симметрическими будут и все получающиеся формы f
(k)
(x) (где
k = 1, ..., m). Некоторые из этих форм могут оказаться нулевыми.
Далее, в замечании 49.1, объяснено, что все (ненулевые) члены
симметрического многочлена разбиваются на группы, составляющие
моногенные многочлены.
Таким образом, каждая из (ненулевых) форм-слагаемых f
(k )
(x)
разбивается на "еще более мелкие" (моногенные) симметрические
формы, причем каждая из последних вполне определяется одним из
своих членов. Естественно в качестве "порождающего" члена брать
высший из них.
§ 49                       Симметрические многочлены                                       463

   В силу замечания 49.1, наряду с (высшим) членом
                                                        i
                                  fI xi11 xi22 ... xikk xk+1
                                                          k+1
                                                              ... xinn ,                 (49.60 )

симметрический многочлен f (x) обязан содержать член
                              i                                     i
       fI xi11 xi22 ... xik+1
                           k
                              xkk+1 ... xinn = fI xi11 xi22 ... xkk+1 xik+1
                                                                         k
                                                                            ... xinn ,   (49.8)

который выше (49.60 ). Противоречие. ¤
   49.3. Моногенные симметрические многочлены
   Определение 49.2. Моногенным называется такой многочлен
от n переменных, все члены которого получаются из одного из них
("порождающего") с помощью всевозможных перестановок перемен-
ных (причем, если различные перестановки приводят к одинаковым
членам, то берется лишь один из них).
   Моногенный многочлен, порожденный одночленом axI , обознача-
ется S(axI ).
  Замечание 49.3. Ясно, что моногенный многочлен является сим-
метрическим и однородным и что в качестве "порождающего" мож-
но взять любой из его членов.
  Операция axI 7→ S(axI ) может быть охарактеризована как "сим-
метрическое размножение" одночлена, приводящее к моногенному
многочлену.
  Замечание 49.4. Согласно изложенному выше, в п. 48.4, всякий
многочлен f (x) степени m от n переменных разбивается в сумму
однородных многочленов (форм), степень которых изменяется от 0
до m:
           f (x) = f(0) + f(1) (x) + f(2) (x) + ... + f(m) (x). (49.9)
   Очевидно, что если данный многочлен являлся симметрическим,
то симметрическими будут и все получающиеся формы f(k) (x) (где
k = 1, ..., m). Некоторые из этих форм могут оказаться нулевыми.
   Далее, в замечании 49.1, объяснено, что все (ненулевые) члены
симметрического многочлена разбиваются на группы, составляющие
моногенные многочлены.
   Таким образом, каждая из (ненулевых) форм-слагаемых f(k) (x)
разбивается на "еще более мелкие" (моногенные) симметрические
формы, причем каждая из последних вполне определяется одним из
своих членов. Естественно в качестве "порождающего" члена брать
высший из них.

Страницы