Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 464 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

464 Алгебра многочленов Гл. 6
Пример 49.4. Многочлены, рассмотренные выше, в примерах
49.1, 49.2, являются моногенными:
π
k
(x) = S(x
k
1
); σ
k
(x) = S(x
1
x
2
... x
k
). (49.10)
Члены, указанные в формулах (49.10) в качестве порождающих,
являются высшими в своих многочленах.
Заметим, что существует единственный (с точностью до пропор-
циональности) моногенный симметрический многочлен первой сте-
пени: π
1
(x) = σ
1
(x).
Пример 49.5. Рассмотрим одночлен x
2
1
x
2
. Если его считать мно-
гочленом от двух переменных, то он порождает моногенный много-
член S(x
2
1
x
2
) = x
2
1
x
2
+ x
1
x
2
2
.
Но этот одночлен можно рассматривать и как одночлен от трех
переменных [соответствующий мультииндексу (2 1 0)], и тогда он по-
родит моногенный многочлен
S(x
2
1
x
2
) = x
2
1
x
2
+ x
2
1
x
3
+ x
1
x
2
2
+ x
1
x
2
3
+ x
2
2
x
3
+ x
2
x
2
3
.
Еще один характерный случай, когда одночлен от n переменных
порождает моногенный многочлен, содержащий менее чем n! слага-
емых (поскольку повторения исключаются):
S(x
2
1
x
2
2
x
3
) = x
2
1
x
2
2
x
3
+ x
2
1
x
2
x
2
3
+ x
1
x
2
2
x
2
3
.
49.4. Основная теорема о симметрических многочленах.
В силу замечания 49.2, если подставить в произвольный многочлен
от n переменных g(y
1
, y
2
, ..., y
n
), вместо каждой из переменных y
k
,
э.с. многочлены σ
k
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) (от такого же количества перемен-
ных x), то получится симметрический многочлен
f(x
1
, x
2
, ..., x
n
) =
= g(σ
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
), σ
2
(x
1
, x
2
, ..., x
n
), ..., σ
n
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)). (49.11)
Настоящий пункт будет посвящен доказательству важной теоре-
мы (заслужившей название основной теоремы о симметрических
многочленах), которая будет утверждать, что и обратно: всякий
симметрический многочлен f(x) ∈ P
sym
[x] можно представить в ви-
де (49.11), т. е. "полиномиально выразить" через э.с. многочлены.
464                          Алгебра многочленов                                     Гл. 6

   Пример 49.4. Многочлены, рассмотренные выше, в примерах
49.1, 49.2, являются моногенными:

                     πk (x) = S(xk1 ); σk (x) = S(x1 x2 ... xk ).                  (49.10)

  Члены, указанные в формулах (49.10) в качестве порождающих,
являются высшими в своих многочленах.
  Заметим, что существует единственный (с точностью до пропор-
циональности) моногенный симметрический многочлен первой сте-
пени: π1 (x) = σ1 (x).
  Пример 49.5. Рассмотрим одночлен x21 x2 . Если его считать мно-
гочленом от двух переменных, то он порождает моногенный много-
член S(x21 x2 ) = x21 x2 + x1 x22 .
  Но этот одночлен можно рассматривать и как одночлен от трех
переменных [соответствующий мультииндексу (2 1 0)], и тогда он по-
родит моногенный многочлен

          S(x21 x2 ) = x21 x2 + x21 x3 + x1 x22 + x1 x23 + x22 x3 + x2 x23 .

  Еще один характерный случай, когда одночлен от n переменных
порождает моногенный многочлен, содержащий менее чем n! слага-
емых (поскольку повторения исключаются):

                   S(x21 x22 x3 ) = x21 x22 x3 + x21 x2 x23 + x1 x22 x23 .


   49.4. Основная теорема о симметрических многочленах.
В силу замечания 49.2, если подставить в произвольный многочлен
от n переменных g(y1 , y2 , ..., yn ), вместо каждой из переменных yk ,
э.с. многочлены σk (x1 , x2 , ..., xn ) (от такого же количества перемен-
ных x), то получится симметрический многочлен

  f (x1 , x2 , ..., xn ) =
 = g(σ1 (x1 , x2 , ..., xn ), σ2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., σn (x1 , x2 , ..., xn )). (49.11)

   Настоящий пункт будет посвящен доказательству важной теоре-
мы (заслужившей название основной теоремы о симметрических
многочленах), которая будет утверждать, что и обратно: всякий
симметрический многочлен f (x) ∈ Psym [x] можно представить в ви-
де (49.11), т. е. "полиномиально выразить" через э.с. многочлены.

Страницы