Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 465 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 465
Теорема 49.1. Всякий симметрический многочлен можно, при-
чем единственным образом, представить в виде многочлена от э.с.
многочленов, т. е. для любого симметрического многочлена
f(x) ∈ P
sym
[x
1
, ..., x
n
]
найдется (однозначно определенный) многочлен
g(y) ∈ P [y
1
, ..., y
n
],
такой, что выполняется (49.11).
Доказательство. 1. Докажем сначала существование представ-
ления (49.11).
Поскольку всякий многочлен представляется в виде суммы од-
нородных, то достаточно доказать сформулированное утверждение
для однородных многочленов положительной степени (для скаляр-
ных многочленов оно тривиально).
Пусть f(x) — однородный симметрический многочлен степени m
с высшим членом
h.t.(f) = ax
i
1
1
x
i
2
2
... x
i
n
n
. (49.12)
Согласно предложению 49.1, мультииндекс I = (i
1
i
2
... i
n
) являет-
ся монотонным.
Первый шаг построения многочлена g(y) будет состоять в подборе
такого одночлена
g
(1)
(y
1
, y
2
, ..., y
n
) = A y
j
1
1
y
j
2
2
... y
j
n
n
; A ∈ P, (49.13)
после подстановки в который y
k
= σ
k
(x) (k = 1, ..., n) получится
многочлен
p
(1)
(x) = g
(1)
(σ
1
(x), σ
2
(x), ..., σ
n
(x)) =
= A ( σ
1
(x) )
j
1
( σ
2
(x) )
j
2
... ( σ
n
(x) )
j
n
, (49.14)
симметрический (в силу замечания 49.2) и такой, что его высший
член совпадает с (49.12).
[Заметим дополнительно, что многочлен (49.14) является одно-
родным степени j
1
+ 2j
2
+ ... + nj
n
.]
Согласно предложению 48.5, высшим членом (49.14) будет
A x
j
1
1
(x
1
x
2
)
j
2
... (x
1
x
2
... x
n−1
)
j
n−1
(x
1
x
2
... x
n
)
j
n
=
= A x
j
1
+j
2
+...+j
n−1
+j
n
1
x
j
2
+...+j
n−1
+j
n
2
... x
j
n−1
+j
n
n−1
x
j
n
n
, (49.15)
§ 49                    Симметрические многочлены                                   465

  Теорема 49.1. Всякий симметрический многочлен можно, при-
чем единственным образом, представить в виде многочлена от э.с.
многочленов, т. е. для любого симметрического многочлена

                              f (x) ∈ Psym [x1 , ..., xn ]

найдется (однозначно определенный) многочлен

                                g(y) ∈ P [y1 , ..., yn ],

такой, что выполняется (49.11).
   Доказательство. 1. Докажем сначала существование представ-
ления (49.11).
   Поскольку всякий многочлен представляется в виде суммы од-
нородных, то достаточно доказать сформулированное утверждение
для однородных многочленов положительной степени (для скаляр-
ных многочленов оно тривиально).
   Пусть f (x) — однородный симметрический многочлен степени m
с высшим членом
                       h.t.(f ) = axi11 xi22 ... xinn .  (49.12)
   Согласно предложению 49.1, мультииндекс I = (i1 i2 ... in ) являет-
ся монотонным.
   Первый шаг построения многочлена g(y) будет состоять в подборе
такого одночлена

                 g(1) (y1 , y2 , ..., yn ) = A y1j1 y2j2 ... ynjn ; A ∈ P,        (49.13)

после подстановки в который yk = σk (x) (k = 1, ..., n) получится
многочлен

  p(1) (x) = g(1) (σ1 (x), σ2 (x), ..., σn (x)) =
                               = A ( σ1 (x) )j1 ( σ2 (x) )j2 ... ( σn (x) )jn ,   (49.14)

симметрический (в силу замечания 49.2) и такой, что его высший
член совпадает с (49.12).
  [Заметим дополнительно, что многочлен (49.14) является одно-
родным степени j1 + 2j2 + ... + njn .]
  Согласно предложению 48.5, высшим членом (49.14) будет

  A xj11 (x1 x2 )j2 ... (x1 x2 ... xn−1 )jn−1 (x1 x2 ... xn )jn =
                   j +j2 +...+jn−1 +jn j2 +...+jn−1 +jn      jn−1 +jn jn
            = A x11                   x2                ... xn−1     xn ,         (49.15)

Страницы