Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 467 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 467
Возникает последовательность многочленов
f(x); f
(1)
(x) = f(x) − p
(1)
(x); ... ;
f
(k+1)
(x) = f
(k )
(x) − p
(k)
(x); ... , (49.21)
со строгим убыванием по высоте высших членов:
h.t.(f) Â h.t.(f
(1)
) Â ... Â h.t.(f
(k )
) Â ... (49.22)
В силу предложения 48.4, не существует бесконечной последова-
тельности строго убывающих по высоте одночленов. Поэтому после-
довательность многочленов (49.21) должна оборваться на некотором
конечном шаге, скажем, с номером r.
Это может произойти, только если разность f
(r+1)
(x) окажется
нулевой, и тогда для симметрического многочлена f(x) будет полу-
чено представление
f(x) = p
(1)
(x) + p
(2)
(x) + ... + p
(r)
(x), (49.23)
где каждое из слагаемых в правой части (а значит — и вся правая
часть в целом) является многочленом от э.с. многочленов.
Существование представления (49.11) доказано.
Замечание 49.5. Прервем доказательство теоремы с тем, чтобы
изложить важные соображения, касающиеся практической реализа-
ции описанного выше алгоритма.
Во-первых, заметим, что ссылка на предложение 48.4 была от-
нюдь не обязательной. Гарантировать обрыв на конечном шаге по-
следовательности одночленов, строго убывающих по высоте, в дан-
ном случае можно было из более простых соображений: все эти одно-
члены имеют одинаковую тотальную степень, а существует лишь
конечное число мультииндексов с фиксированной нормой.
Кроме того, по ходу работы алгоритма на каждом шаге фигуриру-
ет одночлен, который является высшим членом для соответствующе-
го многочлена f
(k )
(x), и следовательно, его мультистепень является
монотонным мультииндексом.
Таким образом, в разложении (49.23) могут фигурировать лишь
одночлены (от э.с. многочленов), мультистепени J
0
которых получа-
ются по формулам (49.17) из монотонных мультииндексов I
0
, более
ранних, чем мультистепень I высшего члена (49.12).
§ 49                  Симметрические многочлены                               467

   Возникает последовательность многочленов

  f (x); f(1) (x) = f (x) − p(1) (x); ... ;
                                  f(k+1) (x) = f(k) (x) − p(k) (x); ... ,   (49.21)

со строгим убыванием по высоте высших членов:

                  h.t.(f ) Â h.t.(f(1) ) Â ... Â h.t.(f(k) ) Â ...          (49.22)

  В силу предложения 48.4, не существует бесконечной последова-
тельности строго убывающих по высоте одночленов. Поэтому после-
довательность многочленов (49.21) должна оборваться на некотором
конечном шаге, скажем, с номером r.
  Это может произойти, только если разность f(r+1) (x) окажется
нулевой, и тогда для симметрического многочлена f (x) будет полу-
чено представление

                   f (x) = p(1) (x) + p(2) (x) + ... + p(r) (x),            (49.23)

где каждое из слагаемых в правой части (а значит — и вся правая
часть в целом) является многочленом от э.с. многочленов.
   Существование представления (49.11) доказано.
   Замечание 49.5. Прервем доказательство теоремы с тем, чтобы
изложить важные соображения, касающиеся практической реализа-
ции описанного выше алгоритма.
   Во-первых, заметим, что ссылка на предложение 48.4 была от-
нюдь не обязательной. Гарантировать обрыв на конечном шаге по-
следовательности одночленов, строго убывающих по высоте, в дан-
ном случае можно было из более простых соображений: все эти одно-
члены имеют одинаковую тотальную степень, а существует лишь
конечное число мультииндексов с фиксированной нормой.
   Кроме того, по ходу работы алгоритма на каждом шаге фигуриру-
ет одночлен, который является высшим членом для соответствующе-
го многочлена f(k) (x), и следовательно, его мультистепень является
монотонным мультииндексом.
   Таким образом, в разложении (49.23) могут фигурировать лишь
одночлены (от э.с. многочленов), мультистепени J 0 которых получа-
ются по формулам (49.17) из монотонных мультииндексов I 0 , более
ранних, чем мультистепень I высшего члена (49.12).

Страницы