Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 469 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 469
Этим гарантируется тот факт, что многочлен f(x) является нену-
левым. Теперь теорема доказана полностью. ¤
Замечание 49.6. 1. Внимательный анализ проведенного выше до-
казательства позволяет получить важную дополнительную инфор-
мацию: коэффициенты искомого многочлена g(y) находятся как це-
лочисленные линейные комбинации коэффициентов исходного сим-
метрического многочлена f(x).
2. В замечательном "антикварном" учебнике А. К. Сушкевича
"Основы высшей алгебры" (М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1937) при-
ведено целых три принципиально различных доказательства основ-
ной теоремы о симметрических многочленах. Доказательство, изло-
женное выше, известно как доказательство Гаусса.
49.5. Примеры выражения симметрических многочленов
через элементарные симметрические. В этом пункте мы реа-
лизуем (на нескольких примерах) программу практического выра-
жения симметрического многочлена через э.с. многочлены (49.4).
Пример 49.6. Рассмотрим однородный многочлен шестой степе-
ни от трех переменных, являющийся частным случаем многочлена
(49.5) из примера 49.3:
f(x) = D
3
(x) = (x
2
− x
1
)
2
(x
3
− x
1
)
2
(x
3
− x
2
)
2
.
По предложению 48.5, высшим членом этого многочлена является
одночлен x
4
1
x
2
2
, имеющий мультистепень I = I
1
= (4 2 0) и коэффи-
циент a = 1.
Последовательность (49.24) монотонных мультииндексов выгля-
дит, очевидно, следующим образом:
I
1
= (4 2 0) Â I
2
= (4 1 1) Â I
3
= (3 3 0) Â I
4
= (3 2 1) Â I
5
= (2 2 2).
Определяем по формулам вида (49.17) последовательность муль-
тистепеней (49.25):
J
1
= (2 2 0); J
2
= (3 0 1); J
3
= (0 3 0); J
4
= (1 1 1); J
5
= (0 0 2)
и тем самым — вид многочлена g(y):
g(y
1
, y
2
, y
3
) = A
1
y
2
1
y
2
2
+ A
2
y
3
1
y
3
+ A
3
y
3
2
+ A
4
y
1
y
2
y
3
+ A
5
y
2
3
,
§ 49                    Симметрические многочлены                                     469

  Этим гарантируется тот факт, что многочлен f (x) является нену-
левым. Теперь теорема доказана полностью. ¤
  Замечание 49.6. 1. Внимательный анализ проведенного выше до-
казательства позволяет получить важную дополнительную инфор-
мацию: коэффициенты искомого многочлена g(y) находятся как це-
лочисленные линейные комбинации коэффициентов исходного сим-
метрического многочлена f (x).
  2. В замечательном "антикварном" учебнике А. К. Сушкевича
"Основы высшей алгебры" (М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1937) при-
ведено целых три принципиально различных доказательства основ-
ной теоремы о симметрических многочленах. Доказательство, изло-
женное выше, известно как доказательство Гаусса.
  49.5. Примеры выражения симметрических многочленов
через элементарные симметрические. В этом пункте мы реа-
лизуем (на нескольких примерах) программу практического выра-
жения симметрического многочлена через э.с. многочлены (49.4).
   Пример 49.6. Рассмотрим однородный многочлен шестой степе-
ни от трех переменных, являющийся частным случаем многочлена
(49.5) из примера 49.3:

               f (x) = D3 (x) = (x2 − x1 )2 (x3 − x1 )2 (x3 − x2 )2 .

  По предложению 48.5, высшим членом этого многочлена является
одночлен x41 x22 , имеющий мультистепень I = I1 = (4 2 0) и коэффи-
циент a = 1.
  Последовательность (49.24) монотонных мультииндексов выгля-
дит, очевидно, следующим образом:

 I1 = (4 2 0) Â I2 = (4 1 1) Â I3 = (3 3 0) Â I4 = (3 2 1) Â I5 = (2 2 2).

  Определяем по формулам вида (49.17) последовательность муль-
тистепеней (49.25):

       J1 = (2 2 0); J2 = (3 0 1); J3 = (0 3 0); J4 = (1 1 1); J5 = (0 0 2)

и тем самым — вид многочлена g(y):

        g(y1 , y2 , y3 ) = A1 y12 y22 + A2 y13 y3 + A3 y23 + A4 y1 y2 y3 + A5 y32 ,

Страницы