Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 471 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 471
Возможно, вас смущает необходимость "расчетливого" выбора
пробных значений переменных. На самом деле это не необходимо,
а лишь "полезно". Пробные значения можно, в принципе, выби-
рать почти произвольно. Надо только помнить о симметричности
рассматриваемых многочленов. (Выбрав, скажем, значения пере-
менных x
1
= 1, x
2
= 1, x
3
= 0, не следует ожидать ничего нового от
значений x
1
= 1, x
2
= 0, x
3
= 1.)
И следует смириться с тем, что при "случайном" выборе пробных
точек система для определения неопределенных коэффициентов мо-
жет оказаться "сложной", что, конечно, не очень страшно. (Мало
ли мы с вами с. л. у. перерешали? К тому же у нас всегда под рукой
помощник — Maple.)
Решая образовавшуюся в среднем столбце табл. 49.1 систему урав-
нений, получим: A
2
= −4; A
3
= −4; A
4
= 18; A
5
= −27.
О т в е т:
D
3
(x) = σ
2
1
σ
2
2
− 4σ
3
1
σ
3
− 4σ
3
2
+ 18σ
1
σ
2
σ
3
− 27σ
2
3
.
Пример 49.7. Рассмотрим степенную сумму π
2
(x) (см. пример
49.1). Чтобы выразить этот многочлен через э.с. многочлены, доста-
точно знать формулу для квадрата суммы (нескольких слагаемых):
(x
1
+ x
2
+ ... + x
n
)
2
=
= (x
2
1
+ x
2
2
+ ... + x
2
n
) + 2(x
1
x
2
+ ... + x
1
x
n
+ x
2
x
3
+ ... + x
n−1
x
n
),
из которой немедленно следует:
π
2
= σ
2
1
− 2σ
2
. (49.27)
Пример 49.8. Рассмотрим аналогичную задачу для суммы ку-
бов π
3
(x).
Высшим членом этого многочлена является одночлен x
3
1
с муль-
тистепенью I = (3 0 ... 0).
Цепочка монотонных мультииндексов, более ранних, чем I, в слу-
чае n > 3 будет иметь вид
I
1
= I = (3 0 0 0 ... 0) Â I
2
= (2 1 0 0 ... 0) Â I
3
= (1 1 1 0 ... 0).
Соответствующие мультииндексы J
k
(k = 1, 2, 3):
J
1
= (3 0 0 0 ... 0); J
2
= (1 1 0 0 ... 0); J
3
= (0 0 1 0 ... 0).
§ 49                   Симметрические многочлены                                 471

  Возможно, вас смущает необходимость "расчетливого" выбора
пробных значений переменных. На самом деле это не необходимо,
а лишь "полезно". Пробные значения можно, в принципе, выби-
рать почти произвольно. Надо только помнить о симметричности
рассматриваемых многочленов. (Выбрав, скажем, значения пере-
менных x1 = 1, x2 = 1, x3 = 0, не следует ожидать ничего нового от
значений x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1.)
  И следует смириться с тем, что при "случайном" выборе пробных
точек система для определения неопределенных коэффициентов мо-
жет оказаться "сложной", что, конечно, не очень страшно. (Мало
ли мы с вами с. л. у. перерешали? К тому же у нас всегда под рукой
помощник — Maple.)
  Решая образовавшуюся в среднем столбце табл. 49.1 систему урав-
нений, получим: A2 = −4; A3 = −4; A4 = 18; A5 = −27.
  О т в е т:

             D3 (x) = σ12 σ22 − 4σ13 σ3 − 4σ23 + 18σ1 σ2 σ3 − 27σ32 .

   Пример 49.7. Рассмотрим степенную сумму π2 (x) (см. пример
49.1). Чтобы выразить этот многочлен через э.с. многочлены, доста-
точно знать формулу для квадрата суммы (нескольких слагаемых):

  (x1 + x2 + ... + xn )2 =
  = (x21 + x22 + ... + x2n ) + 2(x1 x2 + ... + x1 xn + x2 x3 + ... + xn−1 xn ),

из которой немедленно следует:

                                 π2 = σ12 − 2σ2 .                             (49.27)

  Пример 49.8. Рассмотрим аналогичную задачу для суммы ку-
бов π3 (x).
  Высшим членом этого многочлена является одночлен x31 с муль-
тистепенью I = (3 0 ... 0).
  Цепочка монотонных мультииндексов, более ранних, чем I, в слу-
чае n > 3 будет иметь вид

       I1 = I = (3 0 0 0 ... 0) Â I2 = (2 1 0 0 ... 0) Â I3 = (1 1 1 0 ... 0).

   Соответствующие мультииндексы Jk (k = 1, 2, 3):

          J1 = (3 0 0 0 ... 0); J2 = (1 1 0 0 ... 0); J3 = (0 0 1 0 ... 0).

Страницы