Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 470 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

470 Алгебра многочленов Гл. 6
где A
1
= a = 1, а остальные коэффициенты A
2
, A
3
, A
4
, A
5
являются
неопределенными и подлежат определению из равенства многочле-
нов
(x
2
− x
1
)
2
(x
3
− x
1
)
2
(x
3
− x
2
)
2
=
= (σ
1
(x))
2
(σ
2
(x))
2
+ A
2
(σ
1
(x))
3
(σ
3
(x))+
+ A
3
(σ
2
(x))
3
+ A
4
σ
1
(x)σ
2
(x)σ
3
(x) + A
5
(σ
3
(x))
2
,
где
σ
1
(x) = x
1
+ x
2
+ x
3
; σ
2
(x) = x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
; σ
1
(x) = x
1
x
2
x
3
.
Равенство многочленов влечет равенство соответствующих поли-
номиальных функций. (Для случая многочленов от одной перемен-
ной это обсуждалось в п. 39.1. Для многочленов от нескольких
переменных все рассуждения указанного пункта можно повторить
практически дословно. Разумеется, полиномиальные функции так-
же будут зависеть от нескольких переменных, пробегающих данное
поле.)
В рассматриваемом примере три переменные x
1
, x
2
, x
3
, независи-
мо друг от друга, пробегают поле рациональных чисел Q (или любое
более широкое поле).
Придавая переменным конкретные числовые значения, можно по-
пытаться из получившихся равенств определить неопределенные ко-
эффициенты.
Выбор "пробных значений"
x
1
= x
0
1
; x
2
= x
0
2
; x
3
= x
0
3
не всегда прост: надо стремиться к тому, чтобы несложно вычис-
лялись значения f(x
0
1
, x
0
2
, x
0
3
) в левой части равенства и чтобы при
этих значениях некоторые (но не все!) э.с. многочлены обращались
в нуль (что упрощает правую часть равенства).
В рассматриваемом примере многочлен обращается в нуль тогда и
только тогда, когда существует хотя бы одна пара переменных, при-
нимающих равные значения (это верно для всех многочленов D
n
(x);
см. пример 49.3).
Поэтому удобно выбирать пробные значения переменных так, что-
бы два из них были одинаковы. Именно этому принципу мы следуем
при заполнении табл. 49.1 (прил. 2). Заодно три из четырех проб
произведены так, чтобы один из э.с. многочленов обратился в нуль.
470                     Алгебра многочленов                            Гл. 6

где A1 = a = 1, а остальные коэффициенты A2 , A3 , A4 , A5 являются
неопределенными и подлежат определению из равенства многочле-
нов

  (x2 − x1 )2 (x3 − x1 )2 (x3 − x2 )2 =
                = (σ1 (x))2 (σ2 (x))2 + A2 (σ1 (x))3 (σ3 (x))+
                     + A3 (σ2 (x))3 + A4 σ1 (x)σ2 (x)σ3 (x) + A5 (σ3 (x))2 ,

где

 σ1 (x) = x1 + x2 + x3 ; σ2 (x) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ; σ1 (x) = x1 x2 x3 .

  Равенство многочленов влечет равенство соответствующих поли-
номиальных функций. (Для случая многочленов от одной перемен-
ной это обсуждалось в п. 39.1. Для многочленов от нескольких
переменных все рассуждения указанного пункта можно повторить
практически дословно. Разумеется, полиномиальные функции так-
же будут зависеть от нескольких переменных, пробегающих данное
поле.)
  В рассматриваемом примере три переменные x1 , x2 , x3 , независи-
мо друг от друга, пробегают поле рациональных чисел Q (или любое
более широкое поле).
  Придавая переменным конкретные числовые значения, можно по-
пытаться из получившихся равенств определить неопределенные ко-
эффициенты.
  Выбор "пробных значений"

                        x1 = x01 ; x2 = x02 ; x3 = x03

не всегда прост: надо стремиться к тому, чтобы несложно вычис-
лялись значения f (x01 , x02 , x03 ) в левой части равенства и чтобы при
этих значениях некоторые (но не все!) э.с. многочлены обращались
в нуль (что упрощает правую часть равенства).
   В рассматриваемом примере многочлен обращается в нуль тогда и
только тогда, когда существует хотя бы одна пара переменных, при-
нимающих равные значения (это верно для всех многочленов Dn (x);
см. пример 49.3).
   Поэтому удобно выбирать пробные значения переменных так, что-
бы два из них были одинаковы. Именно этому принципу мы следуем
при заполнении табл. 49.1 (прил. 2). Заодно три из четырех проб
произведены так, чтобы один из э.с. многочленов обратился в нуль.

Страницы