Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 468 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

468 Алгебра многочленов Гл. 6
В простых задачах все такие (монотонные) одночлены
I = I
1
 I
2
 I
2
 ...  I
r
(49.24)
легко перечислить.
Соответствующие, уже не монотонные, мультииндексы [мульти-
степени одночленов g
(k )
(y) ]
J = J
1
, J
2
, ..., J
r
(49.25)
находятся по формулам типа (49.17).
Однако коэффициенты
A = A
1
, A
2
, ... , A
r
(49.26)
одночленов g
(k )
(y) заранее не известны [кроме первого, A = a, кото-
рый равен коэффициенту высшего члена (49.12)]; поэтому они долж-
ны рассматриваться как неопределенные.
Определяются неопределенные коэффициенты с помощью проб-
ных значений для переменных x (подробности см. в примерах сле-
дующего пункта).
2. Возвращаемся к доказательству теоремы. Нам надо установить
единственность полиномиального выражения для симметрического
многочлена через э.с. многочлены.
Для этого достаточно доказать, что при подстановке в некоторый
ненулевой многочлен g(y
1
, ..., y
n
) вместо переменных y
k
соответству-
ющих э.с. многочленов σ
k
(x) получается ненулевой многочлен f(x)
[см. (49.11)].
(В самом деле, если тогда два многочлена от n переменных, g(y)
и g
◦
(y), при подстановке в них э.с. многочленов будут давать оди-
наковые результаты, то разность этих многочленов даст нулевой ре-
зультат и, следовательно, сама будет нулевой.)
Рассмотрим все ненулевые одночлены g
J
y
J
[J = (j
1
... j
n
)] много-
члена g(y). Каждому из них, при подстановке y
k
= σ
k
(x), соответ-
ствует многочлен от x с высшим членом (49.15). Легко видеть, что
мультииндексу J
0
= (j
0
1
... j
0
n
), отличному от J, будет соответствовать
высший член такого же вида (49.15), но отличный от того высшего
члена, который соответствовал J.
Выберем из всех таких (попарно различных) высших членов са-
мый высший. Он, очевидно, будет высшим членом во всем много-
члене (49.11) и, следовательно, не погасится ни с каким из других
членов в процессе приведения подобных.
468                    Алгебра многочленов                        Гл. 6

  В простых задачах все такие (монотонные) одночлены

                       I = I1 Â I2 Â I2 Â ... Â Ir               (49.24)

легко перечислить.
   Соответствующие, уже не монотонные, мультииндексы [мульти-
степени одночленов g(k) (y) ]

                           J = J1 , J2 , ..., Jr                 (49.25)

находятся по формулам типа (49.17).
  Однако коэффициенты

                          A = A1 , A2 , ... , Ar                 (49.26)

одночленов g(k) (y) заранее не известны [кроме первого, A = a, кото-
рый равен коэффициенту высшего члена (49.12)]; поэтому они долж-
ны рассматриваться как неопределенные.
  Определяются неопределенные коэффициенты с помощью проб-
ных значений для переменных x (подробности см. в примерах сле-
дующего пункта).
   2. Возвращаемся к доказательству теоремы. Нам надо установить
единственность полиномиального выражения для симметрического
многочлена через э.с. многочлены.
   Для этого достаточно доказать, что при подстановке в некоторый
ненулевой многочлен g(y1 , ..., yn ) вместо переменных yk соответству-
ющих э.с. многочленов σk (x) получается ненулевой многочлен f (x)
[см. (49.11)].
   (В самом деле, если тогда два многочлена от n переменных, g(y)
и g ◦ (y), при подстановке в них э.с. многочленов будут давать оди-
наковые результаты, то разность этих многочленов даст нулевой ре-
зультат и, следовательно, сама будет нулевой.)
   Рассмотрим все ненулевые одночлены gJ y J [J = (j1 ... jn )] много-
члена g(y). Каждому из них, при подстановке yk = σk (x), соответ-
ствует многочлен от x с высшим членом (49.15). Легко видеть, что
мультииндексу J 0 = (j10 ... jn0 ), отличному от J, будет соответствовать
высший член такого же вида (49.15), но отличный от того высшего
члена, который соответствовал J.
   Выберем из всех таких (попарно различных) высших членов са-
мый высший. Он, очевидно, будет высшим членом во всем много-
члене (49.11) и, следовательно, не погасится ни с каким из других
членов в процессе приведения подобных.

Страницы