Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 466 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

466 Алгебра многочленов Гл. 6
и условие совпадения (49.15) с (49.12) приведет к совпадению коэф-
фициентов A = a и к системе линейных уравнений
j
1
+ j
2
+ . . . + j
n−1
+ j
n
= i
1
;
j
2
+ . . . + j
n−1
+ j
n
= i
2
;
.
.
.
...................................
j
n−1
+ j
n
= i
n−1
;
j
n
= i
n
.
(49.16)
Система (49.16) легко решается:
j
1
= i
1
− i
2
; j
2
= i
2
− i
3
; ... ; j
n−1
= i
n−1
− i
n
; j
n
= i
n
; (49.17)
в силу монотонности I, все найденные целые числа j
k
(k = 1, ..., n)
неотрицательны и, следовательно, образуют мультииндекс J ∈ Z
n
+
.
Таким образом, получено явное выражение для симметрического
однородного многочлена (степени m):
p
(1)
(x) = a (σ
1
(x))
i
1
−i
2
(σ
2
(x))
i
2
−i
3
...·
· (σ
n−1
(x))
i
n−1
−i
n
(σ
n
(x))
i
n
. (49.18)
Если f(x) = p
(1)
(x), то цель достигнута на первом же шаге: дан-
ный симметрический многочлен f(x) полиномиально выражен через
э.с. многочлены.
Если же это не так, то рассмотрим разность
f
(1)
(x) = f(x) − p
(1)
(x). (49.19)
Многочлен (49.19) снова является симметрическим и однородным
(степени m), причем все его члены (как оставшиеся от f(x), так
и пришедшие от p
(1)
(x), либо полученные в результате вычитания
и приведения подобных) будут ниже члена (49.12) (напомним, что
высший член в вычитаемом был таким же).
Поэтому
h.t.(f) Â h.t.(f
(1)
). (49.20)
Повторяем описанную выше процедуру устранения высшего чле-
на применительно к многочлену f
(1)
(x) с высшим членом, более низ-
ким, чем (49.12).
466                        Алгебра многочленов                              Гл. 6

и условие совпадения (49.15) с (49.12) приведет к совпадению коэф-
фициентов A = a и к системе линейных уравнений
      
       j1    + j2     + ...       + jn−1       + jn       =    i1     ;
      
      
      
               j2     + ...       + jn−1       + jn       =    i2     ;
                         ..                                                (49.16)
                           .        ...................................
      
      
      
                                       jn−1 + jn = in−1 ;
                                                     jn =       in     .

  Система (49.16) легко решается:

      j1 = i1 − i2 ; j2 = i2 − i3 ; ... ; jn−1 = in−1 − in ; jn = in ;     (49.17)

в силу монотонности I, все найденные целые числа jk (k = 1, ..., n)
неотрицательны и, следовательно, образуют мультииндекс J ∈ Zn+ .
   Таким образом, получено явное выражение для симметрического
однородного многочлена (степени m):

  p(1) (x) = a (σ1 (x))i1 −i2 (σ2 (x))i2 −i3 ...·
                                          · (σn−1 (x))in−1 −in (σn (x))in . (49.18)

   Если f (x) = p(1) (x), то цель достигнута на первом же шаге: дан-
ный симметрический многочлен f (x) полиномиально выражен через
э.с. многочлены.
   Если же это не так, то рассмотрим разность

                            f(1) (x) = f (x) − p(1) (x).                   (49.19)

   Многочлен (49.19) снова является симметрическим и однородным
(степени m), причем все его члены (как оставшиеся от f (x), так
и пришедшие от p(1) (x), либо полученные в результате вычитания
и приведения подобных) будут ниже члена (49.12) (напомним, что
высший член в вычитаемом был таким же).
   Поэтому
                        h.t.(f ) Â h.t.(f(1) ).           (49.20)

   Повторяем описанную выше процедуру устранения высшего чле-
на применительно к многочлену f(1) (x) с высшим членом, более низ-
ким, чем (49.12).

Страницы