Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 472 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

472 Алгебра многочленов Гл. 6
Представление для π
3
(x) с неопределенными коэффициентами:
π
3
(x) = (σ
1
(x))
3
+ A
2
σ
1
(x)σ
2
(x) + A
3
σ
3
(x).
Пробная точка x
1
= x
2
= 1; x
3
= ... = x
n
= 0 дает уравнение, из
которого находится: A
2
= −3.
Точка x
1
= x
2
= x
3
= 1; x
4
= ... = x
n
= 0 позволяет определить:
A
3
= 3.
О т в е т:
π
3
= σ
3
1
− 3σ
1
σ
2
+ 3σ
3
. (49.28)
Заметим, что эту задачу, как и предыдущую, можно было решить
элементарными средствами. (Сделайте это. Заодно разберитесь с
тем, что получится в случае n = 2.)
Замечание 49.7. Можно вывести (см., например, задачники [4,10])
выражения для всех степенных сумм π
k
через σ
k
, а также — обрат-
ные формулы. Здесь мы приведем ("для красоты") одну из этих
формул:
σ
k
=
1
k!
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
1
1 0 ... 0 0 0
π
2
π
1
2 ... 0 0 0
π
3
π
2
π
1
... 0 0 0
... ... ... ... ... ... ...
π
k −2
π
k− 3
π
k− 4
... π
1
k − 2 0
π
k −1
π
k− 2
π
k− 3
... π
2
π
1
k − 1
π
k
π
k− 1
π
k− 2
... π
3
π
2
π
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (49.29)
49.6. Значения симметрических многочленов от корней
многочлена. "Виетовские мотивы", возможно, знакомы вам по
школьным задачам типа: найти сумму кубов корней квадратного
уравнения (не находя самих корней). В общем речь идет об отыс-
кании каких-либо симметрических функций от корней квадратного
трехчлена с помощью выражения этих функций через элементарные
симметрические многочлены (здесь их всего два: сумма и произве-
дение корней). Ниже исследуются аналогичные задачи для много-
членов произвольной степени.
Рассмотрим многочлен
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ a
2
x
n−2
+ ... + a
n−2
x
2
+ a
n−1
x + a
n
, (49.30)
472                     Алгебра многочленов                          Гл. 6

  Представление для π3 (x) с неопределенными коэффициентами:

              π3 (x) = (σ1 (x))3 + A2 σ1 (x)σ2 (x) + A3 σ3 (x).

  Пробная точка x1 = x2 = 1; x3 = ... = xn = 0 дает уравнение, из
которого находится: A2 = −3.
  Точка x1 = x2 = x3 = 1; x4 = ... = xn = 0 позволяет определить:
A3 = 3.
  О т в е т:
                     π3 = σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 .             (49.28)

  Заметим, что эту задачу, как и предыдущую, можно было решить
элементарными средствами. (Сделайте это. Заодно разберитесь с
тем, что получится в случае n = 2.)
  Замечание 49.7. Можно вывести (см., например, задачники [4,10])
выражения для всех степенных сумм πk через σk , а также — обрат-
ные формулы. Здесь мы приведем ("для красоты") одну из этих
формул:
              ¯                                               ¯
              ¯ π1       1      0     ... 0       0        0 ¯
              ¯                                               ¯
              ¯ π2      π1      2     ... 0       0        0 ¯
              ¯                                               ¯
                 π      π2     π1     ... 0       0        0 ¯
           1 ¯¯ 3                                             ¯
      σk =    ¯ ...     ...    ...    ... ...    ...      ... ¯ .   (49.29)
           k! ¯                                               ¯
              ¯ πk−2   πk−3   πk−4    ... π1    k−2        0 ¯
              ¯                                               ¯
              ¯ πk−1   πk−2   πk−3    ... π2     π1     k − 1¯
              ¯                                               ¯
                 πk    πk−1   πk−2    ... π3     π2      π1


  49.6. Значения симметрических многочленов от корней
многочлена. "Виетовские мотивы", возможно, знакомы вам по
школьным задачам типа: найти сумму кубов корней квадратного
уравнения (не находя самих корней). В общем речь идет об отыс-
кании каких-либо симметрических функций от корней квадратного
трехчлена с помощью выражения этих функций через элементарные
симметрические многочлены (здесь их всего два: сумма и произве-
дение корней). Ниже исследуются аналогичные задачи для много-
членов произвольной степени.
  Рассмотрим многочлен

 f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−2 x2 + an−1 x + an , (49.30)

Страницы