Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 474 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

474 Алгебра многочленов Гл. 6
будет содержать a
0
в знаменателе в степени
j
1
+ j
2
+ ... + j
n
(49.16)
=== i
1
.
Для всех других членов f(c) степень по c
1
будет не выше i
1
, и
следовательно, степень a
0
в знаменателе окончательной формулы
будет также не выше i
1
.
В ы в о д: если однородный симметрический многочлен от корней
многочлена (49.30) выразить через коэффициенты этого многочлена
и полученную формулу привести к общему знаменателю, то степень
a
0
в этом знаменателе будет равна степени i
1
высшего члена много-
члена f(c) по "наивысшей из переменных" c
1
.
Пример 49.9. Вычислим значение
π
3
(c
1
, c
2
, c
3
, c
4
) = c
3
1
+ c
3
2
+ c
3
3
+ c
3
4
(49.34)
многочлена из примера 49.3 для корней многочлена четвертой сте-
пени
f(x) = a
0
x
4
+ a
1
x
3
+ a
2
x
2
+ a
3
x + a
4
.
(Другими словами: вычислим сумму кубов корней для многочле-
на четвертой степени.)
Согласно формулам (49.32),
σ
1
(c) = −
a
1
a
0
; σ
2
(c) =
a
2
a
0
; σ
3
(c) = −
a
3
a
0
; σ
4
(c) = −
a
4
a
0
. (49.35)
Подставляя значения (49.35) в (49.28), получим:
π
3
(c) = (σ
1
(с))
3
− 3σ
1
(с)σ
2
(с) + 3σ
3
(с) =
=
µ
−
a
1
a
0
3
− 3
µ
a
1
a
0
µ
a
2
a
0
+ 3
µ
−
a
3
a
0
=
= −
1
a
3
0
(a
3
1
+ 3a
0
a
1
a
2
+ 3a
2
0
a
3
). (49.36)
49.5. Дискриминант многочлена (от одной переменной).
Рассмотрим снова многочлен от одной переменной f(x) вида (49.30),
положительной степени n, имеющий (с учетом кратностей) n корней
в поле P. (От последнего условия можно отказаться, если рассмат-
ривать данный многочлен над алгебраическим замыканием P поля
P ; см. замечание 40.4.)
474                        Алгебра многочленов                         Гл. 6

будет содержать a0 в знаменателе в степени
                                                  (49.16)
                           j1 + j2 + ... + jn === i1 .

   Для всех других членов f (c) степень по c1 будет не выше i1 , и
следовательно, степень a0 в знаменателе окончательной формулы
будет также не выше i1 .
   В ы в о д: если однородный симметрический многочлен от корней
многочлена (49.30) выразить через коэффициенты этого многочлена
и полученную формулу привести к общему знаменателю, то степень
a0 в этом знаменателе будет равна степени i1 высшего члена много-
члена f (c) по "наивысшей из переменных" c1 .
  Пример 49.9. Вычислим значение

                     π3 (c1 , c2 , c3 , c4 ) = c31 + c32 + c33 + c34   (49.34)

многочлена из примера 49.3 для корней многочлена четвертой сте-
пени
              f (x) = a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 .
  (Другими словами: вычислим сумму кубов корней для многочле-
на четвертой степени.)
  Согласно формулам (49.32),
                   a1           a2           a3           a4
      σ1 (c) = −      ; σ2 (c) = ; σ3 (c) = − ; σ4 (c) = − .           (49.35)
                   a0           a0           a0           a0
  Подставляя значения (49.35) в (49.28), получим:

  π3 (c) = (σ1 (с))3 − 3σ1 (с)σ2 (с) + 3σ3 (с) =
                   µ     ¶3       µ ¶µ ¶          µ        ¶
                      a1            a1     a2           a3
                = −          −3                 +3 −         =
                      a0            a0     a0           a0
                                        1
                                   = − 3 (a31 + 3a0 a1 a2 + 3a20 a3 ). (49.36)
                                        a0

   49.5. Дискриминант многочлена (от одной переменной).
Рассмотрим снова многочлен от одной переменной f (x) вида (49.30),
положительной степени n, имеющий (с учетом кратностей) n корней
в поле P. (От последнего условия можно отказаться, если рассмат-
ривать данный многочлен над алгебраическим замыканием P поля
P ; см. замечание 40.4.)

Страницы