Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 475 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 475
Определение 49.3. Дискриминантом многочлена f(x) ∈ P [x]
вида (49.30) называется симметрический многочлен
D(f) = a
2n−2
0
D
n
(c
1
, c
2
, ..., c
n
) = a
2n−2
0
Y
16i<j6n
(c
j
− c
i
)
2
(49.37)
[см. (49.5)], если его представить в виде многочлена
(D(f))(a
0
, a
1
, ..., a
n
)
от коэффициентов a
0
, a
1
, ..., a
n
многочлена f(x).
Замечание 49.9. Данное выше определение является довольно
"замысловатым": дискриминант, с одной стороны, может рассмат-
риваться как симметрический многочлен (49.37) от n переменных
c
1
, ..., c
n
, трактуемых как корни многочлена (49.30).
С другой стороны, согласно предложению 49.2, этот многочлен
может быть представлен как (уже не обязательно симметрический)
многочлен (D(f))(a
0
, a
1
, ..., a
n
) от n + 1 переменных — коэффициен-
тов многочлена f(x).
Поскольку корни многочлена, как правило, заранее не известны
(и вообще, некоторые из них могут принадлежать не данному по-
лю P, а более широкому полю P ), "правильным" является второе
представление дискриминанта.
Однако второе представление, по сути, равносильно первому, а
при первом представлении очевидно основное свойство дискрими-
нанта:
[ D(f) = 0 ] ⇔ [ многочлен f(x) имеет кратные корни ]. (49.38)
Множитель a
2n−2
0
в формуле (49.37) является не слишком суще-
ственным: он никак не сказывается на основном свойстве (49.38).
Вводится он с естественной целью, чтобы в случае, когда коэффи-
циенты данного многочлена являются целыми числами (или целы-
ми элементами поля; точного определения последнего понятия мы
здесь не приводим), коэффициенты D(f) также являлись целыми
числами (целыми элементами поля).
Согласно замечанию 49.8, выражение для D
n
(c) через коэффици-
енты многочлена f(x) будет содержать в знаменателе старший ко-
эффициент a
0
в такой степени i
1
, в которой c
1
входит в высший член
многочлена D
n
(c).
Легко видеть, что этот показатель i
1
= 2(n − 1). Именно чтобы
"погасить" знаменатель a
2n−2
0
, и вводится такой же множитель перед
D
n
(c) в определении дискриминанта.
§ 49                  Симметрические многочлены                     475

  Определение 49.3. Дискриминантом многочлена f (x) ∈ P [x]
вида (49.30) называется симметрический многочлен
                                               Y
   D(f ) = a2n−2
             0   D (c ,
                  n 1 2 c , ..., cn ) = a 2n−2
                                          0      (cj − ci )2 (49.37)
                                                   16i

Страницы