Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 477 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 50 Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие 477
§
§
§ 50. Ферро, Тарталья, Кардано,
Феррари и другие
50.1. Уравнения малых степеней (над полем C). Основная
теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен степени n > 1
с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный
корень (а фактически — ровно n корней, с учетом кратностей). Дру-
гими словами, алгебраическое уравнение
a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+...+a
n−1
x+a
n
= 0; a
k
∈ C (k = 0, ..., n); a
0
6= 0 (50.1)
всегда имеет ровно n решений c
k
∈ C (k = 1, ..., n).
Однако эта теорема не дает никакого способа отыскания всех кор-
ней уравнения (50.1), или хотя бы одного из них.
В то же время для уравнений первой и второй степени корни опре-
деляются простыми формулами.
Линейное уравнение
a
0
x + a
1
= 0
имеет единственный корень
c
1
= −
a
1
a
0
.
Квадратное уравнение
a
0
x
2
+ a
1
x + a
2
= 0
имеет два (возможно, совпадающих) корня
c
1,2
=
−a
1
±
p
a
2
1
− 4a
0
a
2
2a
0
.
Очень долго и трудно математики искали аналогичную формулу
для кубического уравнения
a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
= 0. (50.2)
И в конце концов в XVI веке желанная формула была найдена.
(См. следующий пункт.)
Вскоре после этого был найден способ решения для уравнения
четвертой степени:
a
0
x
4
+ a
1
x
3
+ a
2
x
2
+ a
3
x + a
4
= 0. (50.3)
§ 50      Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и другие                 477

            § 50. Ферро, Тарталья, Кардано,
                       Феррари и другие
   50.1. Уравнения малых степеней (над полем C). Основная
теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен степени n > 1
с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный
корень (а фактически — ровно n корней, с учетом кратностей). Дру-
гими словами, алгебраическое уравнение

 a0 xn +a1 xn−1 +...+an−1 x+an = 0; ak ∈ C (k = 0, ..., n); a0 6= 0 (50.1)

всегда имеет ровно n решений ck ∈ C (k = 1, ..., n).
   Однако эта теорема не дает никакого способа отыскания всех кор-
ней уравнения (50.1), или хотя бы одного из них.
   В то же время для уравнений первой и второй степени корни опре-
деляются простыми формулами.
   Линейное уравнение
                           a0 x + a1 = 0
имеет единственный корень
                                        a1
                               c1 = −      .
                                        a0
   Квадратное уравнение

                          a0 x2 + a1 x + a2 = 0

имеет два (возможно, совпадающих) корня
                               p
                          −a1 ± a21 − 4a0 a2
                   c1,2 =                    .
                                2a0
  Очень долго и трудно математики искали аналогичную формулу
для кубического уравнения

                      a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = 0.               (50.2)

  И в конце концов в XVI веке желанная формула была найдена.
(См. следующий пункт.)
  Вскоре после этого был найден способ решения для уравнения
четвертой степени:

                  a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 = 0.           (50.3)

Страницы