Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 478 стр.

478                     Алгебра многочленов                               Гл. 6

   Формула, явно выражающая все корни уравнения через его ко-
эффициенты (с использованием алгебраических операций сложения,
умножения, возведения в натуральную степень и извлечения корня),
в этом случае оказалась настолько сложной, что ее практически ни-
где не записывают. Вместо этого приводится "инструкция", разби-
вающая работу на ряд этапов. (Об этом — в п. 50.3.)
   Принят такой термин:
                   √      "уравнение решается в радикалах". Ради-
кал — это символ    n
                      , обозначающий операцию извлечения корня
степени n из числа.
   Лишь в XIX веке математической общественностью было понято
и признано, что общих формул, выражающих "в радикалах" корни
алгебраического уравнения степени 5 и выше через коэффициенты
этого уравнения, не существует.
   Таким образом, алгебраисты получили неожиданный результат,
который имеет совсем особую природу: утверждается (и доказыва-
ется), что при n > 4 в принципе не существует никакой формулы,
выражающей корни уравнения степени n через его коэффициенты
(с использованием перечисленных выше алгебраических действий).
   Устанавливается этот факт (и другие подобные "теоремы о несу-
ществовании") весьма непросто. Построена особая математическая
наука — теория Галуа, изучающая, в частности, условия разреши-
мости алгебраических уравнений в радикалах.
   С началами этой науки вы можете познакомиться, например, по
книге [5]. (Кстати, основой теории Галуа выступает теория групп,
первичных понятий которой мы кратко касались в этом пособии.)
   Данный пункт мы завершим описанием двух первых этапов упро-
щения общего уравнения степени n вида (50.1).
   О первом этапе неоднократно уже говорилось: это — нормализа-
ция, состоящая в делении обеих частей уравнения на старший коэф-
фициент a0 . При этом получается нормализованное уравнение

                                                   ak
  xn + a◦1 xn−1 + ... + a◦n−1 x + a◦n = 0; a◦k =      (k = 1, ..., n).   (50.1◦ )
                                                   a0

  Второй этап представляет собой замену неизвестной, устраняю-
щую из уравнения второй (следующий за старшим) член.
  Замена эта является сдвигом:

                                   a◦1
                               x=y− .                                     (50.4)
                                   n