Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 476 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

476 Алгебра многочленов Гл. 6
Пример 49.10. Найдем дискриминант для многочлена третьей
степени
f(x) = a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
= a
0
(x − c
1
)(x − c
2
)(x − c
3
).
Имеем, в силу примера 49.4 и формул (49.32):
D
3
(c) = (c
2
− c
1
)
2
(c
3
− c
1
)
2
(c
3
− c
2
)
2
=
= σ
2
1
σ
2
2
− 4σ
3
1
σ
3
− 4σ
3
2
+ 18σ
1
σ
2
σ
3
− 27σ
2
3
=
=
µ
−
a
1
a
0
2
µ
a
2
a
0
2
− 4
µ
−
a
1
a
0
3
µ
−
a
3
a
0
− 4
µ
a
2
a
0
3
+
+ 18
µ
−
a
1
a
0
µ
a
2
a
0
µ
−
a
3
a
0
− 27
µ
−
a
3
a
0
2
.
Домножая на старший коэффициент в степени 2n − 2 = 4, полу-
чим:
D(f) = a
2
1
a
2
2
− 4a
3
1
a
3
− 4a
0
a
3
2
+ 18a
0
a
1
a
2
a
3
− 27a
2
0
a
2
3
. (49.39)
В следующем параграфе нам понадобится частный случай этой
формулы, относящийся к кубическому многочлену вида
f(x) = x
3
+ px + q,
т. е. получающийся при a
0
= 1; a
1
= 0; a
2
= p; a
3
= q:
D(f) = −4p
3
− 27q
2
. (49.40)
Настоятельно рекомендуем читателям вычислить дискриминант
квадратичного многочлена (чтобы вспомнить детство), а также дис-
криминант для общего многочлена степени 4 или хотя бы для сле-
дующего частного вида многочлена четвертой степени:
f(x) = x
4
+ px
2
+ qx + r.
Замечание 49.9. Можно доказать (см., например, учебники [5, 9]),
что дискриминант многочлена f(x), с точностью до постоянного
множителя, совпадает с результантом (см. замечание 38.5) мно-
гочлена f(x) и его производной f
0
(x) (см. п. 47.2).
476                        Алгебра многочленов                             Гл. 6

   Пример 49.10. Найдем дискриминант для многочлена третьей
степени

      f (x) = a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = a0 (x − c1 )(x − c2 )(x − c3 ).

  Имеем, в силу примера 49.4 и формул (49.32):

  D3 (c) = (c2 − c1 )2 (c3 − c1 )2 (c3 − c2 )2 =
             = σ12 σ22 − 4σ13 σ3 − 4σ23 + 18σ1 σ2 σ3 − 27σ32 =
           µ     ¶2 µ ¶2          µ       ¶3 µ      ¶     µ ¶3
              a1        a2             a1       a3          a2
          = −                  −4 −           −       −4         +
              a0        a0             a0       a0          a0
                                 µ      ¶µ ¶µ            ¶     µ     ¶2
                                     a1     a2        a3          a3
                           + 18 −                  −       − 27 −       .
                                     a0     a0        a0          a0
  Домножая на старший коэффициент в степени 2n − 2 = 4, полу-
чим:

      D(f ) = a21 a22 − 4a31 a3 − 4a0 a32 + 18a0 a1 a2 a3 − 27a20 a23 .   (49.39)

  В следующем параграфе нам понадобится частный случай этой
формулы, относящийся к кубическому многочлену вида

                              f (x) = x3 + px + q,

т. е. получающийся при a0 = 1; a1 = 0; a2 = p; a3 = q:

                             D(f ) = −4p3 − 27q 2 .                       (49.40)
  Настоятельно рекомендуем читателям вычислить дискриминант
квадратичного многочлена (чтобы вспомнить детство), а также дис-
криминант для общего многочлена степени 4 или хотя бы для сле-
дующего частного вида многочлена четвертой степени:

                           f (x) = x4 + px2 + qx + r.

  Замечание 49.9. Можно доказать (см., например, учебники [5, 9]),
что дискриминант многочлена f (x), с точностью до постоянного
множителя, совпадает с результантом (см. замечание 38.5) мно-
гочлена f (x) и его производной f 0 (x) (см. п. 47.2).

Страницы