Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 473 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 49 Симметрические многочлены 473
над полем P, положительной степени n, разложимый над P на ли-
нейные множители, или, что равносильно, имеющий в поле P ровно
n корней, которые мы представим в виде списка
c = [c
1
, c
2
, ... , c
n
], (49.31)
где каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность.
Нормализация многочлена не отражается на списке его корней,
поэтому можно заменить многочлен (49.30) на нормализованный
многочлен:
f
◦
(x) = x
n
+ a
◦
1
x
n−1
+ a
◦
2
x
n−2
+ ... + a
◦
n−2
x
2
+ a
◦
n−1
x + a
◦
n
, (49.30
◦
)
где a
◦
k
= a
k
/a
0
; k = 1, ..., n.
Согласно теореме Виета (см. теорему 40.1), коэффициенты мно-
гочлена (с точностью до знака) выражаются как э.с. многочлены от
его корней:
a
◦
k
= (−1)
k
σ
k
(c
1
, c
2
, ... , c
n
); k = 1, ..., n. (49.32)
Эти соотношения можно использовать "в другую сторону": э.с.
многочлены от корней (49.31), с точностью до знака, равны коэф-
фициентам многочлена (49.30).
Предложение 49.2. Всякий симметрический многочлен от ко-
рней (49.31) многочлена (49.30) можно представить в виде многочле-
на от его "нормализованных" коэффициентов (49.32).
Доказательство немедленно следует из теоремы 49.1 и виетов-
ских соотношений (49.32). ¤
Замечание 49.8. Подчеркнем, что в предложении 49.2 получается
многочлен именно от n переменных — нормализованных коэффици-
ентов a
◦
k
(k = 1, ..., n). По отношению к исходным n+1 переменным —
коэффициентам a
k
(k = 0, 1, ..., n) — получается рациональная дробь,
в знаменателе которой будет некоторая степень коэффициента a
0
.
Важно бывает выяснить, какова эта степень (в случае, когда дан-
ный многочлен f(c) является, скажем, однородным степени m).
Пусть ac
i
1
1
c
i
2
2
... c
i
n
n
является высшим членом этого многочлена;
i
1
+ i
1
+ ... + i
n
= m.
Соответствующий член
aσ
j
1
1
σ
j
2
2
...σ
j
n
n
= a
µ
−
a
1
a
0
j
1
µ
a
2
a
0
j
2
...
µ
(−1)
n
a
n
a
0
j
n
(49.33)
§ 49                 Симметрические многочлены                             473

над полем P, положительной степени n, разложимый над P на ли-
нейные множители, или, что равносильно, имеющий в поле P ровно
n корней, которые мы представим в виде списка

                              c = [c1 , c2 , ... , cn ],                (49.31)

где каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность.
   Нормализация многочлена не отражается на списке его корней,
поэтому можно заменить многочлен (49.30) на нормализованный
многочлен:

 f ◦ (x) = xn + a◦1 xn−1 + a◦2 xn−2 + ... + a◦n−2 x2 + a◦n−1 x + a◦n , (49.30◦ )

где a◦k = ak /a0 ; k = 1, ..., n.
   Согласно теореме Виета (см. теорему 40.1), коэффициенты мно-
гочлена (с точностью до знака) выражаются как э.с. многочлены от
его корней:

                a◦k = (−1)k σk (c1 , c2 , ... , cn ); k = 1, ..., n.    (49.32)

  Эти соотношения можно использовать "в другую сторону": э.с.
многочлены от корней (49.31), с точностью до знака, равны коэф-
фициентам многочлена (49.30).
  Предложение 49.2. Всякий симметрический многочлен от ко-
рней (49.31) многочлена (49.30) можно представить в виде многочле-
на от его "нормализованных" коэффициентов (49.32).
  Доказательство немедленно следует из теоремы 49.1 и виетов-
ских соотношений (49.32). ¤
   Замечание 49.8. Подчеркнем, что в предложении 49.2 получается
многочлен именно от n переменных — нормализованных коэффици-
ентов a◦k (k = 1, ..., n). По отношению к исходным n+1 переменным —
коэффициентам ak (k = 0, 1, ..., n) — получается рациональная дробь,
в знаменателе которой будет некоторая степень коэффициента a0 .
   Важно бывает выяснить, какова эта степень (в случае, когда дан-
ный многочлен f (c) является, скажем, однородным степени m).
   Пусть aci11 ci22 ... cinn является высшим членом этого многочлена;
i1 + i1 + ... + in = m.
   Соответствующий член
                             µ     ¶j µ ¶j     µ         ¶jn
         j1 j2      jn          a1 1 a2 2           n an
       aσ1 σ2 ...σn = a −                   ... (−1)           (49.33)
                                a0     a0             a0

Страницы