Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 460 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

460 Алгебра многочленов Гл. 6
называется симметрическим, если для любой перестановки
σ =
µ
1 2 ... n
σ(1) σ(2) ... σ(n)
∈ S
n
справедливо равенство
f(x
σ(1)
, x
σ(2)
, ..., x
σ(n)
) = f(x
1
, x
2
, ..., x
n
). (49.1)
Множество всех симметрических многочленов будем обозначать
P
sym
[x] (где x = [x
1
, x
2
, ..., x
n
]).
Замечание 49.1. Проанализируем данное выше определение. Ра-
венство (49.1) имеет совершенно ясный смысл, если многочлен (от
нескольких переменных) понимать как функцию (от нескольких пе-
ременных). (Каждая из переменных пробегает поле P, и значения
функции принадлежат тому же полю.)
Но многочлен у нас — это не функция, а формальная сумма (см.
определение 48.4). Левую часть (49.1) следует понимать как мно-
гочлен
σ
f(x), являющийся формальной суммой следующих (ненуле-
вых) членов:
f
I
x
i
1
σ(1)
x
i
2
σ(2)
...x
i
n
σ(n)
, (49.2)
где I – мультииндекс такой, что f
I
6= 0. [В одночлене (49.2) перемен-
ные стоят не по порядку, но, как мы условились в замечании 48.6,
переменные считаются коммутирующими символами и их можно как
угодно переставлять.]
Тот факт, что f(x) совпадает со всеми
σ
f(x), означает, что сим-
метрический многочлен, вместе с каждым членом f
I
x
I
, содержит
все члены вида (49.2).
Например, если симметрический многочлен содержит (ненулевой)
член
ax
4
1
x
3
2
x
3
(a ∈ P ),
то он обязан содержать еще пять членов (с одним и тем же коэффи-
циентом):
a ·(x
4
1
x
3
3
x
2
+ x
4
2
x
3
1
x
3
+ x
4
2
x
3
3
x
1
+ x
4
3
x
3
1
x
2
+ x
4
3
x
3
2
x
1
).
После перестановки сомножителей-переменных сумма всех шести
членов будет выглядеть следующим образом:
a · (x
4
1
x
3
2
x
3
+ x
4
1
x
2
x
3
3
+ x
3
1
x
4
2
x
3
+ x
1
x
4
2
x
3
3
+ x
3
1
x
2
x
4
3
+ x
1
x
3
2
x
4
3
).
460                           Алгебра многочленов                                      Гл. 6

называется симметрическим, если для любой перестановки
                   µ                    ¶
                      1     2    ...  n
               σ=                         ∈ Sn
                     σ(1) σ(2) ... σ(n)
справедливо равенство

                  f (xσ(1) , xσ(2) , ..., xσ(n) ) = f (x1 , x2 , ..., xn ).             (49.1)

  Множество всех симметрических многочленов будем обозначать
Psym [x] (где x = [x1 , x2 , ..., xn ]).
  Замечание 49.1. Проанализируем данное выше определение. Ра-
венство (49.1) имеет совершенно ясный смысл, если многочлен (от
нескольких переменных) понимать как функцию (от нескольких пе-
ременных). (Каждая из переменных пробегает поле P, и значения
функции принадлежат тому же полю.)
  Но многочлен у нас — это не функция, а формальная сумма (см.
определение 48.4). Левую часть (49.1) следует понимать как мно-
гочлен σf (x), являющийся формальной суммой следующих (ненуле-
вых) членов:
                        fI xiσ(1)
                              1
                                  xiσ(2)
                                     2
                                         ...xiσ(n)
                                               n
                                                   ,      (49.2)
где I – мультииндекс такой, что fI 6= 0. [В одночлене (49.2) перемен-
ные стоят не по порядку, но, как мы условились в замечании 48.6,
переменные считаются коммутирующими символами и их можно как
угодно переставлять.]
   Тот факт, что f (x) совпадает со всеми σf (x), означает, что сим-
метрический многочлен, вместе с каждым членом fI xI , содержит
все члены вида (49.2).
   Например, если симметрический многочлен содержит (ненулевой)
член
                          ax41 x32 x3 (a ∈ P ),
то он обязан содержать еще пять членов (с одним и тем же коэффи-
циентом):

            a · (x41 x33 x2 + x42 x31 x3 + x42 x33 x1 + x43 x31 x2 + x43 x32 x1 ).

  После перестановки сомножителей-переменных сумма всех шести
членов будет выглядеть следующим образом:

      a · (x41 x32 x3 + x41 x2 x33 + x31 x42 x3 + x1 x42 x33 + x31 x2 x43 + x1 x32 x43 ).

Страницы