Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 458 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

458 Алгебра многочленов Гл. 6
соответствующий член совсем пропадает (если коэффициенты вза-
имно гасятся). Так что членов более высоких, чем f
I
0
g
J
0
x
I
0
+J
0
, не
появится.) ¤
Замечание 48.10. Справедлива также "d-версия" доказанного вы-
ше предложения. (Отдельного доказательства не потребуется, если
вы разобрались с предыдущими замечаниями на тему порядка
d
≺ .)
48.4. Однородные многочлены (формы)
Определение 48.6. Многочлен от n переменных вида (48.11) на-
зывается однородным многочленом (или формой) степени m, если все
его (ненулевые) члены имеют одинаковую степень, равную m.
Всякий многочлен, очевидно, представляется в виде суммы форм.
Для форм лексикографический порядок и d-лексикографический по-
рядок их членов не отличаются.
Формы нулевой степени — это просто ненулевые константы.
Общим видом формы первой степени (или линейной формы) яв-
ляется
f(x) = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ... + a
n
x
n
, (48.15)
где a
i
= f
E
i
; E
i
= (0 ... 1 ... 0) (единица на i-м месте).
Форма второй степени (квадратичная форма) представляется в
виде
f(x) = a
11
x
2
1
+ a
22
x
2
2
+ ... + a
nn
x
2
n
+
+ a
12
x
1
x
2
+ a
12
x
1
x
2
+ ... + a
1n
x
1
x
n
+
+ a
23
x
2
x
3
+ ... + a
(n−1)n
x
n−1
x
n
, (48.16)
где a
ii
= f
(0 ... 2 ... 0)
(двойка стоит на i-м месте); a
ij
= f
(0 ... 1 ... 1 ... 0)
(i < j; единицы стоят на местах с номерами i и j).
Замечание 48.11. Отметим следующие простые свойства однород-
ных многочленов, связанные с алгебраическими действиями над ни-
ми.
1. Сумма нескольких форм одинаковой степени (если она не ну-
левая) сама является формой той же степени.
2. Произведение нескольких форм является формой (суммарной
степени).
3. В частности, при возведении формы степени m в натуральную
степень k получается форма степени mk.
458                       Алгебра многочленов                                Гл. 6

соответствующий член совсем пропадает (если коэффициенты вза-
имно гасятся). Так что членов более высоких, чем fI0 gJ0 xI0 +J0 , не
появится.) ¤
  Замечание 48.10. Справедлива также "d-версия" доказанного вы-
ше предложения. (Отдельного доказательства не потребуется, если
                                                                               d
вы разобрались с предыдущими замечаниями на тему порядка ≺ .)
   48.4. Однородные многочлены (формы)
   Определение 48.6. Многочлен от n переменных вида (48.11) на-
зывается однородным многочленом (или формой) степени m, если все
его (ненулевые) члены имеют одинаковую степень, равную m.
  Всякий многочлен, очевидно, представляется в виде суммы форм.
Для форм лексикографический порядок и d-лексикографический по-
рядок их членов не отличаются.
  Формы нулевой степени — это просто ненулевые константы.
  Общим видом формы первой степени (или линейной формы) яв-
ляется
                 f (x) = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ,   (48.15)
где ai = fEi ; Ei = (0 ... 1 ... 0) (единица на i-м месте).
   Форма второй степени (квадратичная форма) представляется в
виде

  f (x) = a11 x21 + a22 x22 + ... + ann x2n +
                   + a12 x1 x2 + a12 x1 x2 + ... + a1n x1 xn +
                                 + a23 x2 x3 + ... + a(n−1)n xn−1 xn ,     (48.16)

где aii = f(0 ... 2 ... 0) (двойка стоит на i-м месте); aij = f(0 ... 1 ... 1 ... 0)
(i < j; единицы стоят на местах с номерами i и j).
   Замечание 48.11. Отметим следующие простые свойства однород-
ных многочленов, связанные с алгебраическими действиями над ни-
ми.
   1. Сумма нескольких форм одинаковой степени (если она не ну-
левая) сама является формой той же степени.
   2. Произведение нескольких форм является формой (суммарной
степени).
   3. В частности, при возведении формы степени m в натуральную
степень k получается форма степени mk.

Страницы