Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 447 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 48 Многочлены от нескольких переменных 447
Пример 47.3. Рассмотрим поле F
p
классов вычетов по просто-
му модулю p и многочлен f(x) = x
p
− x. Тогда, как объяснялось в
замечании 47.3, f
0
(x) = −1. Производная является ненулевым ска-
ляром (−1 = p −1 ∈ F
p
) и поэтому не имеет корней. Следовательно,
исходный многочлен имеет лишь однократные корни.
§
§
§ 48. Первоначальные понятия
теории многочленов
от нескольких переменных
48.1. Мультииндексы и их лексикографическое упорядо-
чение. В первом семестре мы лишь познакомимся с очень большой
и сложной теорией многочленов от нескольких переменных. Более
подробное изложение можно будет при желании найти в учебниках,
указанных в списке литературы.
В замечании 36.8 и примере 46.2 был намечен индуктивный под-
ход к определению многочленов от нескольких переменных и даже
была доказана факториальность кольца L[x
1
, x
2
, ..., x
n
] многочле-
нов от n переменных с коэффициентами из факториального кольца
L. В частности, являются факториальными кольца многочленов от
нескольких переменных над полем.
Но здесь мы изложим иной подход к построению теории "мно-
гопеременных" (калька с английского "multivariant") многочленов,
основанный на применении так называемых мультииндексов.
Пусть n — натуральное число, большее единицы (оно будет "ко-
личеством переменных").
Определение 48.1. Мультииндексами длины n будем называть
n-мерные векторы с неотрицательными целыми компонентами вида
I = (i
1
i
2
... i
n
); i
k
∈ Z; i
k
> 0 (k = 1, ..., n). (48.1)
(Запятые без особой необходимости не ставятся.)
Замечание 48.1. Мультииндексы длины n можно считать элемен-
тами прямой степени
Z
n
+
= Z
+
× Z
+
× ... × Z
+
| {z }
n раз
, (48.2)
§ 48        Многочлены от нескольких переменных                      447

  Пример 47.3. Рассмотрим поле Fp классов вычетов по просто-
му модулю p и многочлен f (x) = xp − x. Тогда, как объяснялось в
замечании 47.3, f 0 (x) = −1. Производная является ненулевым ска-
ляром (−1 = p − 1 ∈ Fp ) и поэтому не имеет корней. Следовательно,
исходный многочлен имеет лишь однократные корни.



             § 48. Первоначальные понятия
                    теории многочленов
                от нескольких переменных

   48.1. Мультииндексы и их лексикографическое упорядо-
чение. В первом семестре мы лишь познакомимся с очень большой
и сложной теорией многочленов от нескольких переменных. Более
подробное изложение можно будет при желании найти в учебниках,
указанных в списке литературы.
   В замечании 36.8 и примере 46.2 был намечен индуктивный под-
ход к определению многочленов от нескольких переменных и даже
была доказана факториальность кольца L[x1 , x2 , ..., xn ] многочле-
нов от n переменных с коэффициентами из факториального кольца
L. В частности, являются факториальными кольца многочленов от
нескольких переменных над полем.
   Но здесь мы изложим иной подход к построению теории "мно-
гопеременных" (калька с английского "multivariant") многочленов,
основанный на применении так называемых мультииндексов.
   Пусть n — натуральное число, большее единицы (оно будет "ко-
личеством переменных").
  Определение 48.1. Мультииндексами длины n будем называть
n-мерные векторы с неотрицательными целыми компонентами вида

             I = (i1 i2 ... in ); ik ∈ Z; ik > 0 (k = 1, ..., n).   (48.1)

   (Запятые без особой необходимости не ставятся.)
  Замечание 48.1. Мультииндексы длины n можно считать элемен-
тами прямой степени

                       Zn+ = Z+ × Z+ × ... × Z+ ,                   (48.2)
                             |      {z        }
                                       n раз

Страницы