Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 445 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 47 Дифференцирование в кольце многочленов 445
что и f(x), но лишь однократными (отыскание самих неприводимых
множителей при этом производиться не должно!).
В случае неприводимых множителей вида x − c говорят об отде-
лении кратных корней.
Если данное поле является алгебраически замкнутым, то обе вер-
сии задачи равносильны.
Замечание 47.7. Можно привести следующую мотивировку для
постановки задачи отделения кратных корней. Численные методы
приближенного отыскания корней многочленов, как правило, хоро-
шо работают, лишь если эти корни однократные. Поэтому перед
применением численных методов многочлен следует "подготовить",
избавившись от кратностей, но не потеряв ни одного из корней.
Решение поставленной выше задачи отделения достигается при-
менением производной; его описанию посвящено следующее
Предложение 47.4. Пусть многочлен f(x) ∈ P [x] степени n над
полем P характеристики нуль представлен своим разложением на
(нормализованные) неприводимые множители:
f(x) = a
0
p
1
(x)
m
1
p
2
(x)
m
2
... p
s
(x)
m
s
. (47.24)
Пусть
d(x) = ( f(x), f
0
(x) ) (47.25)
есть (нормализованный) НОД данного многочлена и его производ-
ной.
Тогда d(x) представляется разложением
d(x) = p
1
(x)
m
1
−1
p
2
(x)
m
2
−1
... p
s
(x)
m
s
−1
, (47.26)
а многочлен
g(x) =
f(x)
d(x)
(47.27)
решает задачу отделения кратных неприводимых множителей,
т. е. имеет разложение
g(x) = a
0
p
1
(x)p
2
(x)... p
s
(x). (47.28)
Доказательство. Согласно предложению 47.3 (в котором исполь-
зуется условие обращения в нуль характеристики поля), многочлен
§ 47       Дифференцирование в кольце многочленов                  445

что и f (x), но лишь однократными (отыскание самих неприводимых
множителей при этом производиться не должно!).
  В случае неприводимых множителей вида x − c говорят об отде-
лении кратных корней.
  Если данное поле является алгебраически замкнутым, то обе вер-
сии задачи равносильны.
  Замечание 47.7. Можно привести следующую мотивировку для
постановки задачи отделения кратных корней. Численные методы
приближенного отыскания корней многочленов, как правило, хоро-
шо работают, лишь если эти корни однократные. Поэтому перед
применением численных методов многочлен следует "подготовить",
избавившись от кратностей, но не потеряв ни одного из корней.
  Решение поставленной выше задачи отделения достигается при-
менением производной; его описанию посвящено следующее
   Предложение 47.4. Пусть многочлен f (x) ∈ P [x] степени n над
полем P характеристики нуль представлен своим разложением на
(нормализованные) неприводимые множители:

                f (x) = a0 p1 (x)m1 p2 (x)m2 ... ps (x)ms .      (47.24)

   Пусть
                         d(x) = ( f (x), f 0 (x) )               (47.25)
есть (нормализованный) НОД данного многочлена и его производ-
ной.
   Тогда d(x) представляется разложением

              d(x) = p1 (x)m1 −1 p2 (x)m2 −1 ... ps (x)ms −1 ,   (47.26)

а многочлен
                                       f (x)
                              g(x) =                             (47.27)
                                       d(x)
решает задачу отделения кратных неприводимых множителей,
т. е. имеет разложение

                     g(x) = a0 p1 (x)p2 (x)... ps (x).           (47.28)


   Доказательство. Согласно предложению 47.3 (в котором исполь-
зуется условие обращения в нуль характеристики поля), многочлен

Страницы