Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 443 стр.

§ 47      Дифференцирование в кольце многочленов                    443

  47.4. Кратность корня многочлена и значения производ-
ных. В п. 41.3 было выведено правило: элемент c ∈ P является
корнем кратности m (1 6 m 6 n) для многочлена f (x) ∈ P [x] по-
ложительной степени n тогда и только тогда, когда коэффициенты
Тейлора hk обращаются в нуль при k = 0, ..., m − 1, а коэффициент
hm отличен от нуля. Теперь это правило можно переформулировать
следующим образом.
  Предложение 47.2. Элемент c ∈ P является корнем кратности
m > 1 для многочлена f (x) ∈ P [x] тогда и только тогда, когда

       f (c) = f 0 (c) = ... = f (m−1) (c) = 0; f (m) (c) 6= 0.   (47.21)


   Доказательство немедленно следует из формул (47.19). ¤
   Замечание 47.6. В частности, однократные корни многочлена
(они еще — очень неудачно — называются простыми; не путайте
с простотой в смысле теории делимости) характеризуются тем, что
они не являются корнями (первой) производной.
     47.5. Уменьшение кратности неприводимого множите-
ля многочлена при дифференцировании. Обратимся теперь к
разложению (45.13) произвольного многочлена f (x) положительной
степени (над полем P ) на неприводимые множители и выясним, как
связано разложение на неприводимые множители для производной
f 0 (x) с разложением для данного многочлена.
  Предложение 47.3. Предположим, что поле P имеет нулевую
характеристику. Тогда
  1) если многочлен p(x) является неприводимым делителем крат-
ности m > 1 для многочлена f (x), то p(x) является делителем крат-
ности m − 1 для многочлена f 0 (x);
  2) в частности, если элемент c ∈ P является корнем кратности
m > 1 для многочлена f (x) ∈ P [x], то он является корнем кратности
m − 1 для производной f 0 (x) этого многочлена.
   Доказательство. 1. Начнем доказательство с напоминания (см.
замечание 40.1) о том, что, как было условлено, "корень кратно-
сти 0" — это "не корень". Аналогичная условность предполагается
и применительно к неприводимым делителям: если (p(x))m |f (x), а
(p(x))m+1 - f (x), то p(x) считается делителем кратности m; "дели-
тель кратности 0" — это "не делитель".