Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 440 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

440 Алгебра многочленов Гл. 6
=
Ã
n
X
k=0
m
X
l=0
(f
k
g
l
)(x
k
x
l
)
!
0
(47.2)
===
n
X
k=0
m
X
l=0
(f
k
g
l
)(x
k
x
l
)
0
(47.9)
===
=
n
X
k=0
m
X
l=0
(f
k
g
l
)((x
k
)
0
x
l
+ x
k
(x
l
)
0
) =
=
n
X
k =0
m
X
l=0
(f
k
(x
k
)
0
)(g
l
x
l
) +
n
X
k=0
m
X
l=0
(f
k
x
k
)(g
l
(x
l
)
0
) =
=
n
X
k=0
f
k
(x
k
)
0
m
X
l=0
g
l
x
l
+
n
X
k=0
f
k
x
k
m
X
l=0
g
l
(x
l
)
0
(47.2)
=== f
0
(x)g(x)+f(x)g
0
(x).
Формула (47.3) доказана.
[По ходу преобразований использованы правила обращения с сум-
мами (и двойными суммами), к которым вы должны бы уже при-
выкнуть. Например, при переходе от четвертой строки к пятой мы
(в первой из двойных сумм) вынесли из-под внутренней суммы (по
индексу l) выражение, зависящее лишь от индекса k; после этого
внутренняя сумма оказывается равной g(x); мы выносим этот мно-
житель из-под знака суммы по k (вправо); оставшаяся сумма равна
f
0
(x). Не исключено, однако, что, испугавшись двойных сумм, вы
не различили за их "частоколом" простую идею: произведение мно-
гочленов билинейно (линейно по каждому из двух сомножителей);
дифференцирование линейно; формулу "производная произведения"
достаточно доказывать для произведений базисных векторов (одно-
членов).]
В заключение упомянем свойство степени:
deg(f
0
(x)) 6 deg(f(x)) − 1 (47.10)
для любого многочлена f(x) ∈ P [x] положительной степени. (При-
чем, как показано в замечании 47.3, неравенство может быть стро-
гим.) ¤
Замечание 47.4. Отметим несколько простых свойств оператора
дифференцирования многочленов, непосредственно следующих из
определяющих свойств (47.2) — (47.5).
1. Формула Лейбница для нескольких сомножителей
(f
1
(x)f
2
(x)...f
m
(x))
0
= f
0
1
(x)f
2
(x)...f
m
(x)+
+ f
1
(x)f
0
2
(x)...f
m
(x) + ... + f
1
(x)f
2
(x)...f
0
m
(x) (47.11)
получается из (47.3) индукцией по m.
440                             Алгебра многочленов                                       Гл. 6


        Ã   n X
              m
                                      !0             n X
                                                       m
            X                               (47.2)   X                        (47.9)
                                k l
    =               (fk gl )(x x )          ===                (fk gl )(xk xl )0 ===
          k=0 l=0                                    k=0 l=0
                              n X
                              X m
                          =             (fk gl )((xk )0 xl + xk (xl )0 ) =
                              k=0 l=0
                  n X
                  X m                             n X
                                                  X m
                                      k 0       l
              =               (fk (x ) )(gl x ) +     (fk xk )(gl (xl )0 ) =
                  k=0 l=0                 k=0 l=0
    n
    X              Xm         n
                              X       m
                                      X
               k 0         l        k             (47.2)
=         fk (x )      gl x +   fk x    gl (xl )0 ===                 f 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x).
    k=0             l=0          k=0            l=0
     Формула (47.3) доказана.
     [По ходу преобразований использованы правила обращения с сум-
мами (и двойными суммами), к которым вы должны бы уже при-
выкнуть. Например, при переходе от четвертой строки к пятой мы
(в первой из двойных сумм) вынесли из-под внутренней суммы (по
индексу l) выражение, зависящее лишь от индекса k; после этого
внутренняя сумма оказывается равной g(x); мы выносим этот мно-
житель из-под знака суммы по k (вправо); оставшаяся сумма равна
f 0 (x). Не исключено, однако, что, испугавшись двойных сумм, вы
не различили за их "частоколом" простую идею: произведение мно-
гочленов билинейно (линейно по каждому из двух сомножителей);
дифференцирование линейно; формулу "производная произведения"
достаточно доказывать для произведений базисных векторов (одно-
членов).]
     В заключение упомянем свойство степени:
                                deg(f 0 (x)) 6 deg(f (x)) − 1                            (47.10)
для любого многочлена f (x) ∈ P [x] положительной степени. (При-
чем, как показано в замечании 47.3, неравенство может быть стро-
гим.) ¤
  Замечание 47.4. Отметим несколько простых свойств оператора
дифференцирования многочленов, непосредственно следующих из
определяющих свойств (47.2) — (47.5).
  1. Формула Лейбница для нескольких сомножителей
  (f1 (x)f2 (x)...fm (x))0 = f10 (x)f2 (x)...fm (x)+
                      + f1 (x)f20 (x)...fm (x) + ... + f1 (x)f2 (x)...fm
                                                                       0
                                                                         (x) (47.11)
получается из (47.3) индукцией по m.

Страницы