Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 437 стр.

§ 47         Дифференцирование в кольце многочленов                 437

многочлен

       f 0 (x) = f1 + 2f2 x2 + ... + (n − 1)fn−1 xn−2 + nfn xn−1   (47.7)

степени, не превосходящей n − 1.
   Доказательство. 1. Докажем сначала единственность искомого
оператора дифференцирования, т. е. докажем, что если отображение
(47.1), обладающее требуемыми свойствами, существует, то лишь од-
но. Формулой (47.4) это отображение задано (имеет нулевое значе-
ние) на единичном скаляре. Отсюда немедленно следует, что оно
имеет нулевое значение на любом скаляре λ ∈ P :

                        (λ)0 = (λ · 1)0 = λ · (1)0 = 0.

   Формулой (47.5) отображение (47.1) задано на одночлене x. Свой-
ства (47.4) достаточно, чтобы (однозначно) задать это отображение
на всевозможных одночленах xm (m > 0).
   В самом деле, докажем по индукции формулу

                     (xm )0 = mxm−1 : m = 1, 2, 3, ...             (47.8)

   Сделаем мы это после небольшой "беседы" с читателем. Беседа
будет состоять из двух замечаний. (Доказательство пока прерыва-
ется.)
   Замечание 47.2. Автору в очередной раз приходится ловить себя
(и своих коллег) на неаккуратности обозначений и формулировок.
   Натуральное число m, вообще говоря, не обязано содержаться в
поле P. Более корректной была бы следующая запись правой части
формулы (47.8): (m·1)xm−1 , где произведение полевой единицы 1 на
натуральное число m понимается как сумма m единиц (см. п. 47.1).
   Однако обычно пишут именно так, как в (47.8). А то, что сказа-
но выше,"имеется в виду". Если бы математики всегда соблюдали
предписанные ими же самими строгости, то они не смогли бы ра-
ботать. Приходится утешать себя тем, что в случае необходимости
полная строгость всегда может быть наведена.
   В связи с этим можно припомнить неосторожный пассаж из трак-
тата Н. Бурбаки (об этом великом сочинении мы упоминали в заме-
чании 39.1; сейчас речь идет о книге первой — "Теория множеств";
М.: Мир, 1965). Автор трактата пишет о строгости как о некотором
"горизонте", чем дает повод редактору русского перевода съязвить: