Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 430 стр.

430                  Алгебра многочленов                         Гл. 6

   Как и в предыдущем примере, будут получаться кольца, не удо-
влетворяющие условию Безу (даже в случае, когда кольцо коэффи-
циентов L является полем).
   Скажем, в кольце R[x, y] многочленов от двух переменных x, y
(над полем R) многочлены x и y взаимно просты, но линейное пред-
ставление
                      1 = xu(x, y) + yv(x, y)
невозможно ни при каких u(x, y), v(x, y) ∈ R[x, y]. (Почему?)
   46.7. Признак Эйзенштейна неприводимости многочле-
на над факториальным кольцом. Из п. 46.5 нам известно, что
изучение неприводимых многочленов над полем частных F факто-
риального кольца L сводится к изучению (примитивных) неприво-
димых многочленов над L (что может оказаться более простой за-
дачей).
   Далее мы докажем самый популярный из признаков неприводи-
мости для многочленов над факториальным кольцом — признак Эй-
зенштейна. (В своей исходной версии он, разумеется, относился к
конкретному кольцу L = Z.) Снова нам удобнее будет воспользо-
ваться формой записи многочленов по возрастанию степеней.
  Предложение 46.4 (признак Эйзенштейна). Рассмотрим мно-
гочлен
          f (x) = f0 + f1 x + ... + fn−1 xn−1 + fn xn , (46.29)
положительной степени n над факториальным кольцом L.
   Если для некоторого неразложимого (= простого) элемента
p ∈ L старший коэффициент fn не делится на p, а все остальные
коэффициенты fi (i = 1, ..., n) делятся на p, причем свободный член
f0 не делится на p2 , то многочлен f (x) является неприводимым над
кольцом L.
   Доказательство. Наше последующее рассуждение аналогично
тому, которое применялось при доказательстве предложения 46.2.
   Предположим, что многочлен f (x), вопреки утверждению предло-
жения, оказался приводимым, т. е. для него существует разложение
в произведение двух многочленов положительной степени:

                          f (x) = g(x)h(x);                     (46.30)

где
             g(x) = g0 + g1 x + ... + gm−1 xm−1 + gm xm ;       (46.31)