Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 428 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

428 Алгебра многочленов Гл. 6
В силу леммы Гаусса, произведения примитивных многочленов
g(x) = p
1
(x)p
2
(x)...p
s
(x); h(x) = q
1
(x)q
2
(x)...q
t
(x)
являются примитивными многочленами.
В силу замечания 46.2, равенство
(a
1
a
2
..a
k
)g(x) = (b
1
b
2
...b
l
)h(x)
влечет ассоциированности
a
1
a
2
..a
k
∼ b
1
b
2
...b
l
(46.23)
(в кольце L) и
g(x) = p
1
(x)p
2
(x)...p
s
(x) ∼ q
1
(x)q
2
(x)...q
t
(x) = h(x) (46.24)
(в кольце L[x]).
Ассоциированность (46.23) равносильна равенству
a
1
a
2
...a
k
= vb
1
b
2
...b
l
; v ∈ L
∗
, (46.25a)
в котором обратимый множитель v можно отнести, например, к b
1
,
что не повлияет на неразложимость этого скаляра.
В силу факториальности L, равенство (46.25a) влечет, во-первых,
равенство k = l и, во-вторых, попарную ассоциированность a
i
∼ b
i
(i = 1, ..., k), после подходящей перенумерации множителей.
Ассоциированность (46.24) равносильна равенству
p
1
(x)p
2
(x)...p
s
(x) = uq
1
(x)q
2
(x)...q
t
(x); u ∈ L
∗
, (46.25b)
в котором обратимый множитель u можно отнести, например, к пер-
вому из неприводимых множителей в правой части, что не повлияет
на его неприводимость.
Но, в силу предложения 46.3, неприводимые над L многочлены
останутся неприводимыми над полем частных F, соответствующим
кольцу L.
Равенство (46.25b) можно рассматривать в кольце F [x] многочле-
нов над полем F. Из теоремы 45.3 известно, что это кольцо факто-
риально. Поэтому указанное равенство влечет, в силу (Ф.2), что,
во-первых, s = t, и, во-вторых, после подходящей перенумерации,
428                      Алгебра многочленов                             Гл. 6

  В силу леммы Гаусса, произведения примитивных многочленов

          g(x) = p1 (x)p2 (x)...ps (x); h(x) = q1 (x)q2 (x)...qt (x)

являются примитивными многочленами.
  В силу замечания 46.2, равенство

                      (a1 a2 ..ak )g(x) = (b1 b2 ...bl )h(x)

влечет ассоциированности

                             a1 a2 ..ak ∼ b1 b2 ...bl                   (46.23)

(в кольце L) и

      g(x) = p1 (x)p2 (x)...ps (x) ∼ q1 (x)q2 (x)...qt (x) = h(x)       (46.24)

(в кольце L[x]).
   Ассоциированность (46.23) равносильна равенству

                      a1 a2 ...ak = vb1 b2 ...bl ; v ∈ L∗ ,            (46.25a)

в котором обратимый множитель v можно отнести, например, к b1 ,
что не повлияет на неразложимость этого скаляра.
   В силу факториальности L, равенство (46.25a) влечет, во-первых,
равенство k = l и, во-вторых, попарную ассоциированность ai ∼ bi
(i = 1, ..., k), после подходящей перенумерации множителей.
   Ассоциированность (46.24) равносильна равенству

       p1 (x)p2 (x)...ps (x) = uq1 (x)q2 (x)...qt (x); u ∈ L∗ ,        (46.25b)

в котором обратимый множитель u можно отнести, например, к пер-
вому из неприводимых множителей в правой части, что не повлияет
на его неприводимость.
   Но, в силу предложения 46.3, неприводимые над L многочлены
останутся неприводимыми над полем частных F, соответствующим
кольцу L.
   Равенство (46.25b) можно рассматривать в кольце F [x] многочле-
нов над полем F. Из теоремы 45.3 известно, что это кольцо факто-
риально. Поэтому указанное равенство влечет, в силу (Ф.2), что,
во-первых, s = t, и, во-вторых, после подходящей перенумерации,

Страницы