Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 423 стр.

§ 46   Кольцо многочленов над факториальным кольцом          423

самостоятельность и здравый смысл читателей. Разумеется, они
правы.
   Если определить содержание многочлена как некоторое значение
НОД для коэффициентов многочлена, а затем [вместо импликации
(46.7)] написать формулу
                    cont(f g) = cont(f )cont(g),           (46.7a)
то понимающий читатель сообразит, что здесь — вольность речи:
"равенство" понимается "с точностью до ассоциированности" (или
как равенство классов ассоциированных элементов).
    46.4. Поле частных целостного кольца. В этом пункте нам
предстоит познакомиться с одной важной конструкцией из общей
алгебры — вложением целостного кольца в его поле частных (или,
как еще говорят, поле отношений).
    Конструкция эта весьма простая, и можно сказать, что основные
ее идеи вам известны с той счастливой поры школьного детства,
когда вас впервые знакомили с обыкновенными дробями и алгебра-
ическими действиями над ними.
    Однако строгое и полное изложение этих идей является весьма
пространным и изобилует тонкими деталями и кропотливыми про-
верками. Мы считаем пока несвоевременным погружение на такую
глубину в абстракции общей алгебры. (Математикам предстоит изу-
чать эти вопросы в третьем семестре.) Поэтому последующее изло-
жение будет беглым и не вполне строгим.
    Те, кого такой стиль не устроит, легко смогут найти серьезное
изложение данного вопроса (например, в учебниках [2] или [3]).
    Другим, которым пока чужды понятия более абстрактные, чем
числа, предлагается, начиная с этого пункта, считать, что рассмат-
ривается кольцо K = Z, которое вкладывается в поле F = Q.
    Пусть K — целостное кольцо (см. определение 36.4). В замеча-
нии 36.11 мы уже отмечали, что всякое подкольцо в поле является
целостным кольцом, и обещали объяснить обратное: как вложить
целостное кольцо в поле. Фактически будет сделано большее: мы
построим минимальное из таких полей, в которые вкладывается K.
    Поле частных F для кольца K будет состоять "из дробей" вида
a
b , где a, b ∈ K (b 6= 0), понимаемых просто как пары элементов из
данного кольца, но "равенство пар" будет не обычным "равенством
векторов", оно будет определяться следующим образом:
                         ³a    c´
                             =    ⇔ ( ad = bc ).
                           b   d