Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 418 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

418 Алгебра многочленов Гл. 6
в теоретических вопросах, а вторая — в практических вычислениях.
(По крайней мере, там она более привычна.)
И сейчас нам удобнее будет обратиться к форме записи многочле-
нов в виде бесконечных, но финитных сумм по возрастанию степеней
[см. (36.1b)]:
f(x) =
∞
X
k =0
f
k
x
k
; f
k
∈ L (k > 0); f
n
6= 0; (∀k > n) (f
k
= 0). (46.1)
Определение 46.1. Содержанием ненулевого многочлена (46.1)
называется наибольший общий делитель коэффициентов этого мно-
гочлена. Используется обозначение
cont(f) = НОД(f
0
, f
1
, ..., f
n
). (46.2)
Замечание 46.1. Как всякий НОД, содержание определено лишь с
точностью до ассоциированности (является множеством, классом ас-
социированных друг другу элементов). Поэтому для элементов это-
го класса мы используем запись ’d ∈ cont(f)’, вместо ’d = cont(f)’.
В конкретных кольцах, в которых возможен канонический выбор
представителей в классах ассоциированных элементов, можно дого-
вориться о таком выборе из класса cont(f).
Например, для K = Z мы можем считать содержание не множе-
ством, а положительным целым числом, т. е. полагать
cont(f) = ( a
0
, a
1
, ..., a
n
). (46.2a)
При умножении многочлена на скаляр его содержание умножает-
ся на тот же скаляр. Точнее, для любого скаляра c ∈ L (c 6= 0):
d ∈ cont(f) ⇒ cd ∈ cont(cf).
[Это вытекает из свойства НОД, выражаемого формулой (38.22),
с учетом замечания 38.9.]
Вспомним, что обратимыми многочленами над кольцом L служат
обратимые скаляры (элементы L
∗
), а ассоциированными будут мно-
гочлены, отличающиеся лишь обратимым скалярным множителем.
После этого становится очевидным, что ассоциированные многочле-
ны имеют одинаковые (как множества) содержания.
418                        Алгебра многочленов                           Гл. 6

в теоретических вопросах, а вторая — в практических вычислениях.
(По крайней мере, там она более привычна.)
   И сейчас нам удобнее будет обратиться к форме записи многочле-
нов в виде бесконечных, но финитных сумм по возрастанию степеней
[см. (36.1b)]:

            ∞
            X
  f (x) =         fk xk ; fk ∈ L (k > 0); fn 6= 0; (∀k > n) (fk = 0).    (46.1)
            k=0

  Определение 46.1. Содержанием ненулевого многочлена (46.1)
называется наибольший общий делитель коэффициентов этого мно-
гочлена. Используется обозначение

                        cont(f ) = НОД(f0 , f1 , ..., fn ).              (46.2)

   Замечание 46.1. Как всякий НОД, содержание определено лишь с
точностью до ассоциированности (является множеством, классом ас-
социированных друг другу элементов). Поэтому для элементов это-
го класса мы используем запись ’d ∈ cont(f )’, вместо ’d = cont(f )’.
   В конкретных кольцах, в которых возможен канонический выбор
представителей в классах ассоциированных элементов, можно дого-
вориться о таком выборе из класса cont(f ).
   Например, для K = Z мы можем считать содержание не множе-
ством, а положительным целым числом, т. е. полагать

                          cont(f ) = ( a0 , a1 , ..., an ).             (46.2a)

   При умножении многочлена на скаляр его содержание умножает-
ся на тот же скаляр. Точнее, для любого скаляра c ∈ L (c 6= 0):

                         d ∈ cont(f ) ⇒ cd ∈ cont(cf ).

   [Это вытекает из свойства НОД, выражаемого формулой (38.22),
с учетом замечания 38.9.]
   Вспомним, что обратимыми многочленами над кольцом L служат
обратимые скаляры (элементы L∗ ), а ассоциированными будут мно-
гочлены, отличающиеся лишь обратимым скалярным множителем.
После этого становится очевидным, что ассоциированные многочле-
ны имеют одинаковые (как множества) содержания.

Страницы